例題１、如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC ⊥平面ABC，∠B = π/2 ，點 D、E 在線段AC上，且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4，

點 F 在線段 AB 上，且 EF//BC。

① 證明：AB ⊥ 平面PFE；

② 若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段 BC 的長 。

例題1圖（1）

證明：

（1）如圖，由 DE = EC , PD = PC 知 E 為等腰 △PDC 中 DC 邊上的中點 ，故 PE⊥AC

∵ 平面 PAC ⊥平面 ABC ，平面 PAC ∩ 平面 ABC = AC ，PE⊥AC

∴ PE⊥平面 ABC 從而 PE⊥AB

又 ∵ EF//BC ， ∠B = π/2

∴ ∠AFE = π/2 ， 從而 AB⊥FE

∴ AB ⊥ 平面 PFE

（2）解：設 BC = x ，在直角 △ABC 中

例題1圖（2）

由 EF∥CB ，知 AF：AB = AE：AC = 2/3 ，S△AFE ：S△ABC = （2/3）^ = 4/9 。

即 S△AFE = 4/9 · S△ABC

由 AD = 1/2 · AE ，S△ADF = 1/2 · S△AFE = 1/2 · 4/9 · S△ABC = 1/9 · x · √（36-x^2）

從而四邊形 DFBC 的面積為

例題1圖（3）

由 （1）知 PE⊥平面 ABC ，所以 PE 為四棱錐P-DFBC 的高

在 Rt △PEC 中

例題1圖（4）

四棱錐P-DFBC的體積

例題1圖（5）

故得

例題1圖（6）

因為 x > 0 , 所以 x = 3 或 x = 3√3 ,

所以 BC = 3 或 BC = 3√3 。

注：本題考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系的判定及簡單幾何體的體積的計算；

第一問通過應用面面垂直的性質定理将面面垂直轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直來完成證明；

第二通過設元，将已知幾何體的體積表示出來，建立方程，通過解方程完成解答。

本題屬于中檔題，要注意方程思想在解題過程中的應用。

例題2、如圖，在平行四邊形 ABCM 中，AB = AC = 3 , ∠ACM = 90° ，以 AC 為折痕将△ACM 折起，使點 M 到達點 D 的位置 ，

且 AB⊥DA 。

（1）證明：平面ACD⊥平面ABC ；

（2）Q 為線段 AD 上一點 ， P 為線段 BC 上一點 ，且 BP = DQ = 2/3 DA ， 求三棱錐 Q-ABP 的體積 。

例題2圖（1）

解：

（1）由已知可得，∠BAC =90°，BA⊥AC

又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面ACD

又 AB 真包含于 平面ABC，

所以平面ACD⊥平面ABC。

（2）

例題2圖（2）

由已知可得，DC=CM=AB=3，DA= 3√2 ．

例題2圖（3）

由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．

因此，三棱錐 Q-ABP 的體積為

例題2圖（4）

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