什麼是矩陣的秩？

前面我們介紹了矩陣的基本概念，請參見矩陣的基本知識。 也講了高斯消元法解線性方程組，請參考用高斯消元法解決線性系統問題。

本文談談矩陣秩的概念，先看一個例題：解下列線性方程組的解，

我們按高斯消元法，首先列出增廣矩陣：

第2行減去第1行的兩倍，第3行減去第1行得到：

現在第三行減去第二行(注意隻能先消去下面的行)，然後把第二行乘以1/3（第二行的操作不能讓别的行對其運算，否則再乘以1/3沒有意義）:

這是行階梯形，我們通過把第二行加到第一行來把它化簡（隻能從下往上運算）：

相應的簡化方程組為：

首非零元為1在第1列和第3列，所以對應的變量和被稱為首變量（主要的變量），因為矩陣是行最簡階梯形，所以這些方程可以用系數非1變量和來解首變量，即把,看成自由變量。更準确地說,在這個例子中，我們設 = s和 = t，其中s和t是任意的，所以這些方程變成

最後方程組的解用參數s, t表示變成：

由于s, t是任意數，所以這個方程組有無窮解，上述過程中我們用了反代方法，即把x4當做已知的參數t, 然後帶入第三個方程，依次類推，得出每個變量，這種方法叫反代法。

那麼問題是什麼時候方程組有唯一解，什麼時候方程組有無數解，什麼時候方程無解？這就要引出秩（rank）的概念。

秩的定義：矩陣A的秩是任意矩陣A經過行變換化成階梯矩陣後，行的首元為1的個數。

例題：求矩陣A的秩。

解：按照高斯消元法，将矩陣A化為行的階梯矩陣有，

因為行的階梯矩陣首元為1共有兩個，所以r=2.

假設矩陣A是mxn矩陣， 即有m行和n列。那麼r≤m是因為首元1位于不同的行中，同理r≤n，是因為首元1位于不同的列中。此外, 秩對判斷方程組的解有很好的應用。

下面給出方程組解的判定。

定理：假設一個包含n個變量的m個方程的所構成的方程組是有解的，并且其增廣矩陣的秩是r， 那麼：

1.解的集合恰好包含n - r個參數。

2.如果r <n，方程組有無窮多個解。

3.如果r = n，方程組有唯一解。

證明：增廣矩陣的秩是r的事實意味着正好有r個主變量（系數為1的變量），因此正好有n - r個非主變量。這些非主元變量都作為參數賦值，所以解的集合恰好包含n - r個參數。因此，如果r <n，至少有一個參數，因而有無窮多個解。如果r = n，沒有參數，所以是唯一解。

這個定理有三個含義：

1. 沒有解的情況。當一行出現［ 0 0··· 0 1 ］以行梯隊形式出現時，就會發生這種情況。這是方程組無解的情況。

2. 唯一的解。當每個變量都是主元變量時，就會發生這種情況。

3.無窮多的解。當系統是一緻的并且至少有一個非主元變量時，就會發生這種情況，因此至少有一個參數。

最後再看一個例子，解方程組：

解：增廣矩陣經過初級行變換為：

這樣意味着方程組變換為：

這是一個與原方程組等效的方程組，但最後一個意味着0x 0y 0z = −3, 所以無解。

總結：若解一個線性方程組有下列步驟,

1. 做方程組系數和常量組成的增廣矩陣，
2. 将增廣矩陣化簡為行階梯矩陣，
3. 觀察最後一行或其他行有無出現無解的行，若有則方程組無解，
4. 若有解利用上面解的判定定理确定解的個數，
5. 若有唯一解，可直接求出，
6. 若有無窮解，用參數形式解出，此時參數的個數為n-r, 即有n-r個獨立的變量參數。

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