大家好！好久沒更新文章了，因為我昨天才剛剛弄完程序，提交論文，這段時間真的是有點忙。不過搞完論文後面就會輕松好多了，我會及時給大家更新文章的。

現在正式開始啦！

衆所周知，極限，連續，可微，可積是幾乎貫徹整個數分的灰常重要的概念，說它們構成了數分的骨架，這可一點都不為過。本期主要談談前兩個概念，筆者一直認為，對于一個概念隻有深刻地理解了，才算是學到東西了。打比方說，有人問你，啥是極限啊，你總不會說， ∀ε>0 。。。。巴拉巴拉一大堆。别人會笑的。

我們這裡暫時隻闡述一元微積分學，下圖很好的诠釋了它們的關系

可微 ⟺ 可導 ⟹ 連續 ⟹ 可積

一.極限

我們首先來看它（數列極限）的概念

這個是極其關鍵的。其實一開始，人們是完全不會（或者不能夠清楚明确地）用數學語言來闡述極限這個概念的，都隻是說很接近，怎麼接近？并沒有說清楚。後來 ε−δ 語言的産生，可謂對數學産生了劃時代的影響，極大地推進了數學的發展。

好了，我們來看看，一串數字如何最後都能趨同于一個數字了，那麼首先如何比較兩個數字的大小，根據數學的基本公理，大家都隻知道，是作差。這裡取了絕對值，衡量兩個數的距離了，那麼 ε 就是一個标準了，注意，它不是固定不變的，比如說，我和咱們大家一起争論 與與究竟距離多少才算小，一千個人就有一千個标準，我說如果小于 就可以，而有人說，這個标準還不夠，應該小于 ，也。

為了更好地幫助大家理解，大家看圖就明白了（畫的有點醜，而且畫的有點特殊，一般數列未必總是單調地趨于極限），從第N項以後，數列就進入帶型區域了，即滿足條件了。

那麼 要滿足ε 的任意性就很可怕了，不管取多小，我都可以計算出在第幾個數字以後就滿足你的标準了，嘻嘻，細思極恐。由此可見，為什麼我說這個 ε−δ 語言是很關鍵的了吧。所以說，其實極限是一個動态過程，一旦你給我一個 ε ，我還給你你一個 N ，給我一個 ε ，我還給你一個 N ，.... ...下面舉個最簡單的例子

所以說極限的概念為整個數分構建了語言，後面連續、可微、可積等都離不開它。那麼回答剛開始提出的問題，何為極限，那我就會說，它是一個衡量兩個東西遠近的動态過程，你隻要給我一個你想要的标準，我就會告訴你它倆是啥時候走到那一步的，嘻嘻（大家好好品味，能否從數學上體會出人生呢）。

2.連續

如果說連續就是不斷的曲線的話，那就很形象了，但是這很不數學啊。所以，概念走起

跟數列極限的比較類似，都有兩個極限過程 和→a和n→∞ ，這裡也是啊， 和f(x)→和x→ 。那麼對應的兩組極限，就是兩組比較，就該有兩個衡量标準，對于數列極限就自然是，而就是我們的了就自然是ε，而n→∞就是我們的N了。對于連續 也是，而是f(x)→也是ε，而x→是δ.

話不多說，看圖，隻要是在 的領域的δ領域 ，函數曲線就也在那個帶型區域内。

以上公式都是知乎自帶latex所打，圖片都是iPad所畫，純手工制作。希望對大家更好地理解極限和連續有所幫助。感興趣的同學還可以關注、贊同、收藏一波喲。下面是我的專欄，大家有興趣也可以關注下。阿裡嘎到！下期見！

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