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已知弦長拱高求弧長簡便公式

生活 更新时间:2025-01-28 11:26:51

本文主要内容:介紹圓弧的弦長A=5米,拱高H=1米的弦長求法。

已知弦長拱高求弧長簡便公式(已知圓弧的弦長為5米)1

第一步,解析弧長表達式

根據題意,有直角三角形關系如下:

R^2=(R-b)^2 (a/2)^2解得:

R=(a^2 4*b^2)/8b,設弧長為L,由公式得:

L=2θR=θ(a^2 4*b^2)/4b.

∵sinθ=(A/2)/R=4ab/(a^2 4*b^2)

∴θ=arcsin[4ab/(a^2 4*b^2)].

即弧長計算表達式為:

L=(a^2 4*b^2)/4b*arcsin[4ab/(a^2 4*b^2)]

第二步,泰勒展開計算結果

1.泰勒公式定義展開計算

(arcsinx)´=(1-x^2)^(-1/2),則(arcsin0)´=1;

(arcsinx)´´=-(1/2)*(1-x^2)^(-3/2)*(-2x)=x(1-x^2)^(-3/2);

(arcsinx)´´´=(1-x^2)^(-3/2) x[(1-x^2)^(-3/2)]´;

則:(arcsin0)´´=0,(arcsin0)´´´=1.

即arcsinx≈x 0 (1/3!)x^3=x x^3/6=x(x^2 6)/6.此時

arcsin[4ab/(a^2 4*b^2)]

≈4ab[8a^2b^2 3(a^2 4b^2)^2]/[3(a^2 4b^2)^3].

代入弧長計算表達式得:

L≈a[8a^2b^2 3(a^2 4b^2)^2]/[3(a^2 4*b^2)^2]

即:

L≈a [(8/3)a(ab)^2/(a^2 4*b^2)^2].

代入數值計算,得:

L≈5 [(8/3)*5*5^2/(5^2 4*1^2)^2]

L≈5.4。

2.泰勒變形公式展開計算

∵(arcsinx)´=(1-x^2)^(-1/2)

≈1 (-1/2)*(-x^2) (-1/2)*(-3/2)*(-x^2)^2

≈1 (1/2)x^2 (3/4)x^4

∴arcsinx=∫(1-x^2)^(-1/2)dx

≈x (1/6)x^3 (3/20)x^5.對本題有:

arcsin[4ab/(a^2 4*b^2)]≈[4ab/(a^2 4*b^2)]

(1/6)[4ab/(a^2 4*b^2)]^3 (3/20)[4ab/(a^2 4*b^2)]^5.

arcsin[4ab/(a^2 4*b^2)]

≈4ab*{15(a^2 4b^2)^4 40[(ab(a^ 4b^2)]^2

576(ab)^4}/[15(a^2 4b^2)^5]。代入到弧長表達式得:

L≈a*{15(a^2 4b^2)^4 40[(ab(a^ 4b^2)]^2

576(ab)^4}/[15(a^2 4b^2)^4]。即:

L≈a 8a*(ab)^2[5(a^2 4b^2)^2 72(ab)^2]/[15(a^2 4b^2)^4].

代入數值計算,得:L≈

5 40*5^2[5(5^2 4*1^2)^2 72*5^2]/[15*(5^2 4*1^2)^4],

即:L≈5.57。

結語:

​可見兩種計算方法,都是弦長增量計算法,都存在一定的誤差。

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