如果問金庸小說中哪套劍法最厲害，很多武俠迷都會想到“獨孤九劍”。劍魔獨孤求敗，終其一生欲求一敗而不得。

其實，在數學江湖中也有一套“獨孤九劍”，那便是被稱為“中國數學聖經”的《九章算術》。

《九章算術》作者不詳，師承不明，無門無派，身世神秘，仿佛天外飛仙般突然降臨江湖，一出現便驚豔衆生，引曆代名家盡折腰，甘願殚精竭慮為之作注，九章之學，遂成大宗。

劉徽（225～295），山東鄒平縣人，魏晉時偉大數學家，中國古典數學理論的奠基人之一，著有《九章算術注》和《海島算經》。

正如“獨孤九劍”有九式一樣，《九章算術》也有九章，每章研習一術，分别是方田術、粟米術、衰分術、少廣術、商功術、均輸術、盈不足術、方程術、勾股術，合稱“九術”，即九種算法，雖然怎麼聽都像是武功秘訣。

不過，你别看這些算法聽上去玄乎其玄，但中國人向來務實，因此《九章算術》所研習的東西，都與老百姓的日常生活息息相關。

劉徽《九章算術注》

正所謂劍有劍招，算有算題，既然“獨孤九劍”得從一招一招練起，那《九章算術》也得從一題一題做起。

整部《九章算術》說到底就是一本算題集，一共列舉了二百四十六道算題，每題皆有問有答有解。這又好比二人對劍，一人出招，一人接招，至于如何見招拆招，則全賴“九術”之妙用。

九章算術篇幅巨大，其中不乏晦澀難懂的術語，咱們不妨就從中抽取比較有趣的幾個章節來講一講，也算是抛磚引玉。

例一

箕田求積

"今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步，問為田幾何？"

說白了這其實就是個面積計算問題，由于常跟“田”打交道，這“田”也就自然成為了各類圖形的代稱，你比方說：“方田”指矩形，“圭田”指等腰三角形，“邪田”指直角梯形，“箕田”指等腰梯形，“圓田”指圓形等等。

而且，不同的“田”也有不同的面積計算公式——

箕田術示意圖

本題所求為箕田面積，也就是等腰梯形的面積，翻譯過來即：

等腰梯形面積＝1/2×（上底＋下底）×高

這個公式是不是很親切？遙想幼學當年，稚氣猶未了，強記硬背，百遍後，倒也滾瓜爛熟。在此直接套用即可：

箕田面積＝1/2×（20＋5）×30＝375步

不知道古代的小學生在計算梯形面積的時候，會不會也像現在的孩子一樣咬牙切齒？

例二

陽馬求積

今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺。問積幾何？

不要誤會，這陽馬說的可不是馬，而一種特殊的錐體，本題所要求的就是這種錐體的體積。在動手計算之前，先得介紹一下立體圖形家族的諸位成員。

咱們最熟悉的當然是長方體，在家族中排行最大，輩份最高，許多錐體和柱體都是由它演變而來的。

将長方體沿對角面斜分為二，得到兩個一模一樣的三角棱錐，稱為“塹堵”，其體積是長方體的一半。

塹堵

再沿塹堵某一頂點與相對的棱剖開，得四角棱錐和三角棱錐各一個。四角棱錐以矩形為底，另有一棱與底面垂直，稱為“陽馬”；餘下的三角棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為“鼈臑”（biē nào）。

合兩鼈臑而成一陽馬，合三陽馬而成一立方。故本題解法是：“廣袤相乘，以高乘之，三而一。”

翻譯一下也就是以陽馬矩形底面的長乘以寬，再乘以陽馬的高，得出未剖分前長方體的體積，除以三即為陽馬的體積。

故答曰：“九十三尺少半尺。”

例三

凫雁相逢

今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，問何日相逢？

凫即野鴨，雁即大雁，野鴨從南海飛到北海需要七天，大雁從北海飛到南海需要九天。問：野鴨和大雁同時分别從南海和北海出發，問多少天可以相遇？

凫雁相逢

題雖然簡單，卻包含了均輸術中的時日、路程、速度等幾乎所有的元素，反映了中國古代在處理與比例分配相關的分數運算時的基本思維——“齊同”，化異分母為同分母叫“同其母”，要保持分數值不變，還必須“齊其子”，母同子齊以後才可以進行加減運算。

所以，“凫雁相逢”的解法是：“并日數為法，日數相乘為實，實如法得一日。”

也就是說，以各自需要的天數之和為除數，以各自需要的天數之積為被除數，這樣就得到日數。答曰：“三日十六分日之十五。”

例四

人共買物

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數、物價各幾何？

題目的意思是：幾個人一起買一件東西，每人出錢八塊，則多三塊，是為盈餘；每人出錢七塊，則少四塊，是為不足。問人數多少？物價多少？

《九章算術》所給出的盈不足術公式相當啰嗦，反而劉徽的注更為簡單——

首先計算人數。每人兩次出錢，相差為8－7＝1，這是所謂“一人之差”。而“盈不足為衆人之差”，也就是說由于每人兩次出錢都差一點，導緻了最後有3個“衆人之差”，大家相差的就是盈餘的3塊錢和不足的4塊錢之和，“衆人之差”是7塊錢。

“以一人之差約衆人之差，故得人數也”，以7除以1，即得知人數是7人。

再來算物價。每人出8塊，買1物，多3塊；若買4物，則需出8×4＝32塊，多3×4＝12塊。每人出7塊，買1物，少4塊；若買3物，則需出7×3＝21塊，少4×3＝12塊。兩次盈虧等同，互相抵消。兩次出錢之和＝8×4＋7×3＝53塊，共計買得4＋3＝7物。已算得人數是7人，可知物價是53塊錢。

故答曰：“七人，物價五十三。”

例五

引葭赴岸

今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适與岸齊。問水深、葭長各幾何？

這是一道很有趣的題，說的是有一個邊長為一丈的方形水池，正中央長着一根蘆葦，露出水面一尺。若将蘆葦稍頭垂直拉到岸邊，頂端恰好與岸齊平。問水有多深？蘆葦有多長？

勾股定理

要解這道題，先需認識勾股定理。在《九章算術》中則稱為“勾股術”，其訣曰：“勾股各自乘，并而開方除之，即弦。”換言之，即是說直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。設勾為a，股為b，弦為c，則a² b²＝c²。

據《周髀算經》記載，西周初年的數學家商高曾向周公講過“勾三股四弦五”，即3² 4²＝5²，這是勾股定理最著名的特例。

掌握了勾股定理，要解本題就易如反掌了。《九章算術》給出的解法是：“半池方自乘，以出水一尺自乘，減之。餘，倍出水除之，即得水深。加出水數，得葭長。”

設池邊長一半為a，池深為b，葭長為c

按題意，已知a＝5尺，c-b＝1尺

用勾股定理 a² b²＝c²，可以得出

水深b＝[a²－(c－b)²]／2(c-b)＝(5²－1²)／2＝12尺

葭長c＝b＋1＝13尺

故答曰：“水深一丈二尺。葭長一丈三尺。”

“引葭赴岸”的故事宋代時還流傳到了印度，被印度數學家拜斯迦羅本土化為“風吹荷花”問題：

湖靜浪平六月天，荷花半尺出水面。

忽來南風吹倒蓮，荷花恰在水中淹。

湖面之上不複見，入秋漁夫始發現。

落花去根三尺整，試問水深尺若幹？

此題顯然與“引葭赴岸”如出一轍，詩中有畫，畫中有題，妙趣橫生。即使不做題，單純欣賞這詩畫中的意境，也會讓人很開心。

至此，“九術”算是亮過了身手，但若要修煉得爐火純青，隻這般走馬觀花，顯然是遠遠不夠的，先得把二百四十六道題全做一遍才行！

“獨孤九劍”之所以厲害，在于能克敵緻勝，倘若隻圖花哨賣弄，遇敵時一觸即潰，又怎配得上“劍魔”威名？《九章算術》亦同此理，能真真切切解決現實問題的數學，才是活潑潑有生命力的數學。

《九章算術》所歸納的種種算法，如今看來雖已不再高深，卻依然被廣泛應用于各個領域，非但有功于當時，亦且有裨于後世，“聖經”之譽，誠不負哉！

參考文獻：

[1]闫文宇,朱宏斌.《九章算術》所反映的秦漢農業生産與社會經濟[J].秦始皇帝陵博物院,2017(00):205-216.

[2]桂淑伊.管窺《九章算術》,傳承數學文化[J].數學學習與研究,2017(14):124 126.

[3]王秀玉,霍豔晶.從《九章算術》中分析我國古代數學的文化風格[J].蘭台世界,2014(17):151-152.

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