超越數是不能滿足任何整系數代數方程的實數。定義恰與代數數相反。兩個著名的例子：圓周率π=3.1415926535…|自然對數的底e=2.718281828…可以證明超越數有無窮多個。在實數中除了代數數外，其餘的都是超越數。實數可以作如下分類：實數分為實代數數、實超越數。所有超越數構成的集是一個不可數集。這暗示超越數遠多于代數數。可是，現今發現的超越數極少，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，取其前三位數字的近似值是0.618。由于按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似，通過簡單的計算就可以發現：

1/0.618=1.618

(1-0.618)/0.618=0.618

做一個RT三角形ABC,直邊AC的長度是斜邊BC的一半，以C為圓心，AC為半徑，做圓交BC于D,以B為圓心，BD為半徑做圓交AB于E，BE與EA之比即為黃金分割。筆直可計算出，為

[5^(1/2)-1]/2≈0.618

建築師們對數字0.618…特别偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的聖母院，或者是近世紀的法國埃菲爾鐵塔，都有與0.618…有關的數據。人們還發現，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618…處。藝術家們認為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618…處，能使琴聲更加柔和甜美。

數字0.618…更為數學家所關注，它的出現，不僅解決了許多數學難題(如：十等分、五等分圓周；求18度、36度角的正弦、餘弦值等)，而且還使優選法成為可能。優選法是一種求最優化問題的方法。如在煉鋼時需要加入某種化學元素來增加鋼材的強度，假設已知在每噸鋼中需加某化學元素的量在1000—2000克之間，為了求得最恰當的加入量，需要在1000克與2000克這個區間中進行試驗。通常是取區間的中點(即1500克)作試驗。然後将試驗結果分别與1000克和2000克時的實驗結果作比較，從中選取強度較高的兩點作為新的區間，再取新區間的中點做試驗，再比較端點，依次下去，直到取得最理想的結果。這種實驗法稱為對分法。但這種方法并不是最快的實驗方法，如果将實驗點取在區間的0.618處，那麼實驗的次數将大大減少。這種取區間的0.618處作為試驗點的方法就是一維的優選法，也稱0.618法。實踐證明，對于一個因素的問題，用“0.618法”做16次試驗就可以完成“對分法”做2500次試驗所達到的效果。因此大畫家達·芬奇把0.618…稱為黃金數。

π是第十六個希臘字母的小寫。 π這個符号，亦是希臘語 περιφρεια （表示周邊，地域，圓周等意思）的首字母。1706年英國數學家威廉•瓊斯（William Jones ，1675－1749）最先使用“π”來表示圓周率 。1736年，瑞士大數學家歐拉也開始用 π表示圓周率。從此，π便成了圓周率的代名詞。圓周率（Pi）是圓的周長與直徑的比值，是一個在數學及物理學中普遍存在的數學常數。π也等于圓形之面積與半徑平方之比。 在分析學裡，π可以嚴格地定義為滿足sin x = 0的最小正實數x。

對于圓周率探索的曆史可以追溯到古埃及時期。建造于公元前2500年左右的胡夫金字塔就和圓周率有關，金字塔的周長和高度之比等于圓周率的兩倍，正好等于圓的周長和半徑之比。

公元263年，中國數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，他先從圓内接正六邊形，逐次分割一直算到圓内接正192邊形。他說“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”，包含了求極限的思想。

人們對圓周率精确值的探索一直以來孜孜不倦，以前的人計算圓周率，是要探究圓周率是否循環小數。自從1761年蘭伯特證明了圓周率是無理數，1882年林德曼證明了圓周率是超越數後，圓周率的神秘面紗就被揭開了。

割圓到1536邊形，求出3072邊形的面積，得到令自己滿意的圓周率 :3927/1250 ≈3.1416;

Leibniz定理：

wallis公式：

自然常數e就是lim(1 1/x)^x,x→ ∞或lim(1 z)^(1/z),z→0,其值約為2.71828，是一個無限不循環小數。為超越數。

當我們利用公比稍大于1的等比數列來構造對數時，e這個值就出現了，由此可以得到表達式

其中n是一個很大的整數，n越大，這個式子越接近一個特定的數e。

或

自然常數經常在公式中做對數的底。比如，對指數函數和對數函數求導時，就要使用自然常數。函數y=f(x)=a^x的導數為f'(x)=a^x*ln(a)。函數y=f(x)=loga(x)的導數為f'(x)=loga(e)/x。

自然常數也和質數分布有關。有某個自然數a，則比它小的質數就大約有a/ln(a)個。在a較小時，結果不太正确。但是随着a的增大，這個定理會越來越精确。這個定理叫素數定理，由高斯發現。

e在自然科學中的應用并不亞于π值。像原子物理和地質學中考察放射性物質的衰變規律或考察地球年齡時便要用到e。

在用齊奧爾科夫斯基公式計算火箭速度時也會用到e，在計算儲蓄最優利息及生物繁殖問題時，也要用到e。

同π一樣，e也會在意想不到的地方出現，例如：“将一個數分成若幹等份，要使各等份乘積最大，怎麼分？”要解決這個問題便要同e打交道。答案是：使等分的各份盡可能接近e值。如，把10分成10÷e≈3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份為10÷4=2.5，這時2.5^4=39.0625乘積最大，如分成3或5份，乘積都小于39。e就是這樣神奇的出現了。

1792年，15歲的高斯發現了素數定理：“從1到任何自然數N之間所含素數的百分比，近似等于N的自然對數的倒數；N越大，這個規律越準确。”這個定理到1896年才由法國數學家阿達瑪和幾乎是同一時期的比利時數學家布散所證明。以e為底還有很多優越性。如以e為底編制對數表最好；微積分公式也具有最簡的形式。這是因為隻有e^x導數就是其自身，即d/dx(e^x)=e^x。

The End

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