《數的産生與發展》（至整數的加減法止）

彭彤彬

數産生自人類的生活、生産等實踐之中，它是自然客觀存在的一個方面在人腦中的反映。

後由于對客觀自然認識的不斷加深，随着數學理論的發展，不斷産生了新數，促使了數的概念不斷發展。

至今數的發展及數的理論已經較為完備。

基于數發展起來的理論稱為數學。

随着現實科學的不斷發展，人類不斷将數的有關理論加以抽象深化或賦予新的含義，發展起了數學的現代各分支，它們就是高深難懂的高等數學。

本小冊子主要按邏輯發展順序講述數的起源和發展，因為按數的實際發展曆史來講會顯得雜亂，讓人看不到其中的脈絡，而抓不住數及其理論蘊涵的本質。

讓我們從中了解數的發展曆程，及其演化方向，讓我的懂得數是數學及其各分支的基礎，從而明确數的重要性。

一、自然數

1.自然數的概念

人類生存在這個世界上，時時處處需要與客觀物體打交道。

早期人類需要對人員、物品計數，并比較它們的多少，就産生了自然數。

一群人有幾個？1人，2人，3人，4人，…，10人，….

一堆桃子有多少個？1個，2個，3個，…，10個，…

一個人有幾個手？1個，2個。

一個人有幾個手指？1個，2個，…，10個。

一個部落中有幾個家庭？

每個家各有多少人？

射殺一頭野豬用了多少支箭？

一月有多少天？一年有多少月？一年有多少天？

人們在生活、生産中，為了計算事物的多少，便産生了數（動詞）數（名詞），通過數數，最終産生了正整數：1，2，3，…，n，…

若“沒有”某物體，人們就稱這個物體有“0”個。

所以最早0的意義等同于無。

1，2，3，4，n，…稱作正整數。由所有正整數組成的整體，我們稱為正整數集，常用N＋（＋在N的右下角）來表示。

正整數加入0後，得到：0，1，2，3，…，n，…統稱為自然數。由所有自然數組成的整體，我們稱為自然數集，常用N來表示。

2.自然數的加法

（1）加法定義：

由上可見，由于實際需要，産生了自然數。但我們要知道，更是由于需要産生了自然數的運算。

一個人有3個桃子，另一個人又送了他2個，那麼這個人共有幾個桃子？

3＋2＝5。

4個人各打3隻、2隻、0隻、8隻野兔，它們一共打了幾隻野兔？

3＋2＋0十8＝13。

你有10個手指，我有10個手指，他有10個手指，我們三人共有多少手指？

10＋10＋10＝30。

就這樣自然而然地産生了自然數的加法運算。

兩個自然數a，b按上面規則相加，即一堆a個物體，另一堆b個物體，将兩堆放在一起，變成一堆，這一堆有多少個物體？得到的結果稱為a與b的和，記為a＋b。

求兩自然數和的過程叫做加法運算。

類似可得三個數或更多數的和式，求這些數的和都稱為做加法運算。

如：10820＋3500＝14320，

3300＋5702＋8673＋1053402

＝9002十8673＋1053402

＝17675＋1053402

＝1071075。

（2）加法的性質：

人們通過不斷地做加法去求數的和的實驗，明白了自然數有下列性質：

0是最小的自然數。

0表示無。

0＋0=0，

0=0 0＋0，

0＝0 0 0 0 0，

0＝0 0 0 0 …＋0。

即任意多個0相加均為0。

0＋a＝a＋0＝a。即0與任何自然數相加，或任何自然數加0，均等于這個自然數。

1是一個很特殊的自然數，有了它，就可以用加法得到除0、1外的所有自然數。即：

2＝1＋1，

3＝1＋1 1，

4＝1＋1 ＋1 1，

5＝1＋1 ＋1 1＋1，

10＝10個1的和，

1000＝1000個1的和，

一般地：

自然數n＝n個自然數1的和。

由上知道，0，1兩個自然數，它倆是很特殊、作用很大、屬性相反的自然數。

0表示無，任意個0相加均為0，不可能和為1，即無中不能生個有。

1表示有，n個1的和就等于n，即1生成了所有表示“有”的自然數。

但無論多少個1的和，不可能等于0。即“有”是客觀存在的，是不可能消失。自然數n可以拆分成n個1的和，表明再大的數，不論你怎麼去分割它，它的每一份再小，也是有，不可能變成0。

所謂的“無中生有”，“變有為無”，在客觀世界中是不存在的。

物質不滅嗎，一種物質可以改變存在形式，但不會消失，也不會沒有任何物質，你把它創造出來。

這個物質客觀存在性，反映在數學中也是不存在的。

要想“無中生有”，“變有為無”，那隻能存在于“幻想”的魔法裡面，或各種神話之中。如上帝創造萬物，大變活人等。

有與沒有，屬性相反，差異很大，無與有由加法不能聯系溝通上，但“有”，隻是量級上的差異，有多有少，但總可以表示成1的和。

自然數a＋1是比自然數a大且最接近a的自然數，即兩個自然數a與a＋1之間無其它自然數。我們稱它們為相鄰的自然數。

3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，亦稱為連續相鄰的13個自然數。

從自然數m開始下列一組數：m，m＋1，m＋2，m＋3，…，m＋n-1，稱為連續的n個自然數。

從2n＋1開始的連續n個自然數為：2n＋1，2n＋2，2n＋3，…，2n＋（n-1），3n。

從0開始，每次加1可得一個新的自然數，将得到的自然數再加1，又得到一個新自然數，這樣一直加下去，可得到所有的自然數。

即：0，0＋1＝1，1 1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，4＋1＝5，5＋1＝6，6＋1＝7，7＋1＝8，8＋1＝9，9＋1＝10，10＋1＝11，11＋1＝12，……

我們發現，所有的自然數是數不完，是寫不完的，它不是有限個，我們稱它為無數多個，常記為＋∞，讀作正無窮大。

可以知道，＋∞比任一個自然數都大。

顯然有：0＜1＜2＜3＜4＜5＜6＜7＜8＜9＜10＜11＜12＜…＜100＜101＜102＜…＜999＜1000＜1001＜1002＜…

在做加法時，我們可以發現一個重要的性質：

任兩個自然數的和仍是自然數。即若a，b是自然數，則a＋b仍是自然數。

人們稱這個現象為自然數關于加法是封閉的，或自然數具有加法封閉性。

現在我們記為：

若a∈N，b∈N，則a＋b∈N。讀作若a是集N的元素，b是集N的元素，則a＋b也是N的元素。

（3）加法的運算律：

加法運算遵從的運算律如下：

①兩個自然數求和時，不管哪個在前面，和值一樣。

我們稱這個現象為：自然數的加法滿足交換性。

現在記法為：a＋b=b a.

②多個自然數相加，不管是三個或更多個，先加哪兩個，後加哪兩人個，最終總和值相等。

我們稱這種現象為：自然數加法滿足結合律。

現在記法為： （a＋b）＋c=a (b＋c)＝a＋b＋c。

由于自然數加法滿足交換律和結合律，所以一些自然數相加，我們可将要加的某些自然數交換并給合在一起先加，然後再接下去作至求出總和來。

這就是我們求和使用一些技巧的依據。

如：3＋5＋7＋55＋21＋39

＝（3＋7）＋（5＋55）＋（21＋39）

＝10＋60＋60＝130。

如：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10

＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋（5＋10）

＝10十10＋10＋10＋15

＝55。

提問：

①1＋2＋3＋…＋100＝？

②11＋12＋13＋14＋…＋199＝？

③1＋2＋3＋…＋n＝？

④n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（2n-1）＋2n＝？

3.自然數的減法

（1）自然數減法概念

人的在生活，生産中常遇到下列問題:

你有10個桃子，你給了5個你媽媽，你還剩幾個?

10-5=5個。

一群人有12個，走了6個去打獵,3個去尋柴禾，剩餘的人打掃衛生，問打掃衛生的幾人？

12-6-3=3人。

某月有30天，已經過了17天，本月還有多少天？

30-17=13天。

你昨天剩餘有5個雞蛋，今天雞下了5個，你家人吃了3個，你家今天有幾個雞蛋放到明天？

5＋5-3＝7。

如此的問題衆多，舉不勝舉。由這樣的問題産生了自然數的減法。

自然數的減法就是從一個自然數中，去掉一個較小(或之相等)的自然數，剩餘多少？求剩結果叫做做減法運算。

現在記法：自然數a減去自然數b記為a一b，所得結果稱為a與b的差，其中a叫做被減數，b叫做減數。

（2）自然數減法性質

在做減法的過程中，人們發現：

1-1=0，2-2＝0，3-3＝0，4-4＝0，5-5＝0，6-6＝0，…，n-n＝0，…

即你收入幾個某物，再給出相等的幾個某物後，你手中就沒有了這個物體。

可見，作減法，可以讓有變成無。這個無是你這裡的，曾有的東西并沒有消失，隻是轉移到别處了。

在做減法的過程中，人們發現：1-2，5-8，189-321，0-54360001，這樣的式子在自然數中是不能進行，是沒有結果的。

即自然數的誠法是不封閉的，或說自然數減法不具備封閉性。

這與自然數加法是封閉的結論不同。

現在記為：若a∈N，b∈N，則a-b∈N有對有錯，所以這個數學結論不成立。讀作：若a是自然數，b是自然數，則差a-b不一定是自然數。若a≥b，a-b是自然數，若a＜b，則a-b不是自然數，這時被減數小了，不夠減。

在做減法的過程中，人們發現：

10-7＝（3＋7）-7＝3，

58-17＝（41＋17）-17＝41，

103-78＝（25＋78）-78＝25，

310-205＝（105＋205）-205＝105，

歸納一下，就是：若a＋b＝c，則c-a＝a＋b-a＝b，c-b＝a＋b-b＝a。

即若求兩數之差，可先将被減數拆分成一數與減數之和，則差就等于這個數。

所以自然數減法，就是自然數加法的變形，是自然數加法的逆過程，我們稱它為自然數加法的逆運算。

常把這一過程如下寫出：要求a-b，設a-b＝x，則需找x使x＋b＝a，所以若a＝b＋c，則x＝a-b＝c＋b-b＝c。

我們知道做含加減法的混合運算時，先算括号裡面的，後算括号外面的。

如（33-17）＋（5 17）-（22-15）

＝16＋22-7

＝38-7

＝31

在含有括号的混合運算中，人們發現：

如：13-（8 2）＝13-8-2（＝3），

27-（18 9）＝27-18-9（＝0），

55-（33 7）＝55-33-7（＝15）。

一般地有：c-（a＋b）＝c-a-b。

如：13-（8-2）＝13-8＋2（＝7），

27-（18-9）＝27-18 9（＝18），

55-（33-7）＝55-33＋7（＝29）。

一般地有：c-（a-b）＝c-a＋b。

又加上由加法滿足結合律知：a＋（b＋c）＝a＋b＋c。

總結前面三式，可得到去括号法則：

若括号前為＋号，将括号去掉，括号裡各數不變号，若括号前為-号，将括号去掉，括号裡各數都改變符号。

在含有多重括号的時候，先算最裡面層内的，然後算最裡面向外數第二層内的，依次類推，最後算最外面一層括号外的。

如：13-（（（5＋3）-7）-1）-5

＝13-（（8-7）-1）-5

＝13-（1-1）-5

＝13-0-5

＝13-5

＝8

有多重括号的運算式子，可先去括号，再行計算。

可依次從外層向裡層去括号，去每層括号時，都遵從去括号法則，将括号去完後，再進行加減運算，最終得出結果。

當然也可從最裡層向外層依次去掉每層的括号後再計算。

如：33-（（25＋3）-（7-5））＋5

＝33-（25＋3）＋（7-5）＋5＝33-25-3 7-5 5

＝8-3 7-5 5

＝5 7-5 5

＝12。

或33-（（25＋3）-（7-5））＋5

＝33-（25 3-7 5） 5

=33-25-3 7-5 5

＝12。

4.自然數的乘法

（1）自然數乘法概念：

人們在生活、生産中還會遇到下列問題:

每個人有2隻手，那麼5個人共幾隻手？

2＋2＋2＋2＋2＝2×5＝10。

每個人有10個手指，那麼27個人共有多少 個手指？

10＋10＋10＋…＋10＝27個10的和＝10×27＝270。

每個人的一隻手有5個手指，每個手指有3個關節，哪麼一隻手共有多少個關節？

3＋3＋3＋3＋3=3×5=15。

一般來說，若a，b均是自然數，那麼b個a是多少？

a＋a＋…＋a＝b個a的和＝b×a＝ba。

若a，b均是自然數，那麼a個 b是多少？

b＋b＋…＋b＝a個b的和＝a×b＝ab。

一般地，求兩個自然數a，b之和ab或ba的運算過程叫乘法，ab或ba的值稱為a與b的積，或b與a的積。

可以看出乘法就是多個相同數的加法，ab或ba隻是加法的一種簡便記法。

顯然有：

0＋0＋…＋0＝n個0的積＝0×n＝0。

我們也定義0個n和＝n×0＝0。

即0×n＝n×0＝0。

人們為了計算乘法，發明了九九乘法表，可直接計算個位數的乘法。

即：一一得一。

一二得二，二二得四。

一三得三，二三得六，三三得九。

一四得四，二四得八，三四一十二，四四一十六。

…

一九得九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五，六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。

為了進行多位數的乘法，人們發明了豎式算法。

如：35×21＝？

列豎式為：

由上可得：35×21＝735。

如：3249×327＝？

可得：3249×327＝1062423。

弄清了乘法的含義及運算方法，人們便可很容易地得到兩自然數數的積。

（2）自然數乘法的性質：

人類在不斷求自然數積的實踐中，總結出了下列結論:

0×0×0×…×0＝n×0＝0×n＝0。

1×1×…×1＝任意個1相乘＝1。

n×1＝1×n＝n。

若自然數a，b滿足a＝nb（其中n是一個自然數），則稱a是b的n倍。

如：因15＝5×3＝3×5＝15×1＝1×15，所以15為5的3倍，是3的5倍，是15的1倍，是1的15倍。

如：3的33倍＝3×33＝99＝9×11＝9的11倍＝11x9＝11的9倍。

若一個自然數是另一個自然數的2倍，則稱這個自然數為偶數，所有的偶自然數放在一起組織一個整體，叫偶自然數集。除掉偶自然數的所有其它自然數稱為奇數，所有的奇自然數組成一個奇自然數集。

所以自然數集，可以由奇偶性分成兩個無公共元素的集合：偶自然數集，奇自然數集。

顯然，0，2，4，6，8，10，12，…，20000，20002，20004，…均為偶數。

1，3，5，7，9，11，13，15，…，87，89，91，…均為奇數。

人們通過乘法運算知道了，自然數與自然數的積仍為自然數。

我們稱這個結論為自然數乘法具有封閉性。

現在寫成：若a∈N，b∈N，則ab∈N，ba∈N。讀作若a，b是自然數，則積ab，ba都是自然數。

（3）自然數乘法的運算律：

自然數乘法滿足交換律。即：ab＝ba，如：3x2=2x3，38×23＝23×38。

自然數乘法滿足結合律。

即：a（bc）＝（ab）c。

如：(3x2)x4=3x(2x4)，

85×（22×5）＝（85×22）×5。

另外還多一個運算律：自然數乘法對加法具有分配律。

即：a(b＋c)＝ab＋ac。

如3×(2＋6)=3×2 3×6，

121×（53＋77）＝121×53＋121×77。

由運算侓，有時候能讓我們簡化運算。

如：357×5×22

＝357×110

＝357×（100＋10）

＝357×100＋357×10

＝35700＋3570

＝38270。

如：

（3308-1256-1944）×252

＝（3308-1200-2000）×252

＝108×252

＝（100＋8）×252

＝25200＋8×250＋16

＝25200＋2000＋16

＝27216。

5.自然數的除法

（1）自然數除法的概念

有了自然數乘法知識後，人們在思考分配問題時，就有了方法。如：有15個桃子，平均分發給5個人，每人多少個？

因3=3x5，可推出每人3個。我們記為：15÷5＝3×5÷5＝3。

現有12000斤谷子，平均分給40輛獨輪車運去某地，每輛獨輪車需運多少斤？

因12000＝300×40，所以每輛獨輪車需運300斤。現在記為：12000÷40＝300×40÷40＝300。

一般地，若某自然數m，可以寫成另兩自然數a、b的積ab，則将m平分為b份，每份有a個。我們記為：m÷b=ab÷b＝a。同樣道理有m÷a＝ab÷a＝ba÷a＝b。

m÷a讀作m除以a，其中m叫被除數，a叫除數。m÷b讀作m除以b，其中m為被除數，b除數。÷為除号。

m÷a的結果叫商，求商的過程叫除法運算，或叫做除法。

可以看出，要求兩自然數的商，需要先将被除數拆分成兩自然數之積，即是先作乘法，然後得到商的。故我們稱自然數的除法是它們乘法的逆運算。

做除法，若按定義做是不方便甚至困難的。

為了計算除法得到商，人們發明了一種直接算法：豎式除法。

如：9361÷407＝？

解：列豎式計算如下：

可得：9361÷407＝23。

如：123456÷643＝？

解：列豎式計算如下：

可得：123456÷643＝192。

任何兩個非零自然數的商均可用豎式計算出來。

（2）自然數除法的性質

顯然：0÷m＝0，m÷1＝m，m÷m＝1（其中除數m≠0）。

我們規定：m÷0無意義。即做除法時，除數不能為0。即0÷0，1÷0，2÷0，99÷0，1025÷0均無意義。

因為我們找不到一個自然數a，使1025＝a×0，所以1025÷0＝a×0÷0＝a中的a找不到，也就是不存在。

這是我們以後要注意的，除數不能為0。

在做除法的過程中，人們會發現不是任兩個自然數的商都是自然數，并且存在大量的兩自然數之商不是自然數。如：1÷2，1÷3，1÷4，3÷2，5÷2，7÷2，7÷3，7÷4，7÷5，7÷6，7÷8，7÷9，7÷10，商都不是一個自然數。即：自然數除法不具有封閉性。

現在記為：若a∈N，b∈N，則a÷b∈N可能對，可能不對，在數學上就不對，結論就不成立。

這是與自然數乘法是封閉的結論是不同的，應引起我們的注意。

6.關于自然數及其運算小結

由前面我們知道，自然數中0與1是兩個非常特殊的。

0＋0＝0-0＝0×0＝0。

0÷0無意義，m÷0無意義。

a＋0＝a-0＝a，

a×0＝0，

a-a＝0，

0÷m＝0（其中m≠0）。

0＝1-1，

1＝1＋0＝0＋1＝1×1＝1÷1，

a＝1＋1＋1＋1＋…＋1＝a個1的和（a為大于1的自然數）。

兩個自然數a與a＋1之間無自然數，a＜a＋1。

a×1＝1×a＝a÷1＝a。

a÷a＝1（a≠0）。

自然數可以進行加、減、乘、除四則運算。它們各有實際意義，且在數學理論上是互相聯系的，其中減、乘、除都直接或間接來自加法，可見自然數加法的基礎性。

自然數減法是加法的逆運算。自然數除法是乘法的逆運算。自然數乘法是特殊形式加法後的簡化形式。

自然數加法，乘法都具有封閉性，但自然數減法，除法不具備封閉性。

自然數四則混合運算中，先算括号裡面的，後算括号外面的。無括号時，先算乘除，後算加減，一個無括号式中既有乘又有除時，按左先右後既先出現的先算。無括号隻有加減的式中，先後計算順序可随便，能算就行。

如：

3＋（6÷2x5-7）-5×10÷2÷5

＝3＋（3×5-7）-50÷2÷5

＝3＋（15-7）-25÷5

＝3＋8-5

＝11-5（或＝3＋3）

＝6。

當然，對含括号的自然數四則運算式子，可按去括号法則，先去括号再行計算，不過一定要注意，隻用×和÷号連接的式子應看成一個數。

如45-（3 56÷7×2-10）＋3×（81÷27）

＝45-3-56÷7×2＋10＋3×3

＝45-8×2＋10＋9

＝45-16＋19

＝45＋3

＝48。

由于自然數加法與乘法，滿足交換律、結合律和乘法對加法的分配律，我們可以運用來正确計算或算化計算，故要熟練掌握。

總之，自然數的知識來源于0、1及加法。抓住根本，可以從頭到尾一推到底。

二、整數

1.負整數和整數的概念

有了自然數這個好基礎，我們再從它出發，突破它的限制，獲取新的數“負整數”，從而可以得到所有的整數。

在對自然數的學習中，我們知道自然數對減法不具備封備性。即一個自數減去一個自然數，可能等于一個自然數，也可能出現不夠減的情況。這種現家在日常生活、生産中經常出現。如:

我有20個西瓜，賣出去了15個，還存有有幾個西瓜？

答：20-15＝5（個）。

若我有20個西瓜，但某買家一下子要買25個，交易完成後，是個什麼狀況？

答：20-25＝欠買家5（個）。

一種情況是手中存有5個，一種情況是倒欠人家5個。

把兩種情況綜合起來看，若第一天存有5個，第二天欠人家5個，可以将第一天存的5個給人家，這樣既不欠别人的，手中西瓜也賣完了，手中恰好有西瓜0個。

即：（存5）＋（欠5）＝0（個〉。

一家中，盤中有30顆葡萄，晚上2個家人每人吃10顆，還有多少顆？

答：30-20＝10（顆）即剩餘10顆。

另一家中，盤中有30顆葡萄，晚上4個家人每人計劃吃10顆，會出現什麼情況？

答：30-40＝欠10（顆）即差10顆。

兩個家庭綜合起來看有：（餘10）＋（欠10）＝0。

一個水庫前天水位深32米，昨天放水，緻水位一天降了2米，今天早晨開始下雨緻水位一天漲了2米，問經過這兩天水位有什麼變化？

答：兩天水位變化為（30-32）＋（32-30）＝（降2）＋（升2）＝0。

由上面例子，我們可以看出，世界上存在兩個數值相等，但屬性恰好相反的成對的量。

其實這樣的成對的量是大量存在的。如：在銀行存一萬元與取一萬元，做了1000套房子與賣了1000套房子，挖了18米深的坑與将坑填了18米厚的土石。舉不勝舉。

一般地，我們将數值相同，都為a，但屬性相反的兩個量叫做互為相反數。規定其中一個值為＋a，讀作正a，稱為正數，簡記為a；另一個值則記為-a，讀作負a，稱為負數。

由前知所有的自然數，是零和正數。

由上知a＋（-a）＝0，我們稱a與-a互為相反數。即一對相反數的和為0。如：

5與-5互為相反數，5＋（-5）＝0，

10與-10互為相反數，10＋（-10）＝0，

2與-2互為相反數，2＋（-2）＝0，

10000與-10000互為相反數，10000＋（-10000）＝0，

1000與-1000互為相反數，1000＋（-1000）＝0，

18與-18互為相反數，18＋（-18）＝0。

由上，可獲得前述問題中下列意義和記法：

西瓜問題中20-15＝（存5）＝＋5＝5，而20-25＝（欠5）＝-5。

葡萄問題中30-20＝（餘10）＝＋10＝10，30-40＝（欠10）＝-10。

水位問題中30-32＝（降2）＝-2，32-30＝（升2）＝＋2＝2。

存款問題中（存10000）＝＋10000＝10000＝取（-10000），取10000＝存（-10000）。

建房問題中（建1000）＝1000時，（賣1000）＝-1000。

挖坑中挖了18＝＋18，填18＝-18＝（挖-18）。

注意前面多一個負号，意義反一次，所以有：挖18米＝填（-18米），挖（-18米）＝填18米，挖（-（-18））米＝填（-18）米＝挖18米。

取10元＝存（-10）元，存10元＝取（-10）元，取（-（-10））元＝存（-10）元＝取10元。

即有-（-18）＝18，-（-10）＝10。

這就是∵18＋（-18）＝0，10＋（-10）＝0，

∴18與-18互為相反數，10與-10互為相反數，

∴（-18）＝-（18），18＝-（-18）。

（-10）＝-（10），-（-10）＝10。

一般地有-（-a）＝a。

由上可得：正數的相反數是負數，負數的相反數為正數，0的相反數為0。

一個數的相反數的相反數等于它本身。

要注意理解喲。

這樣一來，原來有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…，999，1000，1001，…這些自然數，現在每個正數都生出了一個新數，就是它的相反數。所以出現了一系列新數：

-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，-9，-10，…，-999，-1000，-1001，…

這些數稱為負整數，與原有的0和正整數一起，組成整數。

整數包括正整數，0，負整數三部分。整數有無數多個。

所有的整數組成的集合叫整數集，常記為Z。顯然：

3∈Z，2∈Z，1∈Z，0∈Z，-1∈Z，-2∈Z，

-3∈Z，-4∈Z，-5∈Z，

-2345∈Z，-876054∈Z。

而因N表示自然數，

∴-4∈N，-5∈N，-2345∈N，-876054∈N都是不成立的。

你想想：欠别人的錢越多，自己的财富越少，水位下降的越大，水位就越低。

所以我們自然而然可以理解以下規定的合理性：

負整數＜0＜正整數，具體有：

…＜-20001＜-20000＜-19999＜-19888＜…＜-101＜-100＜-99＜-98＜…＜-5＜-4＜-3＜-2＜-1＜0＜1＜2＜…

由上述實際意義我們還較易理解下列式子：

-20001＋1＝-20000，

-20000＋1＝-19999，

-19999＋1＝-19998，

…

-5＋1＝-4，-4＋1＝-3，

-3＋1＝-2，-2＋1＝-1，

-1＋1＝0，0＋1＝1，

1＋1＝2，…

當然也有：

2-1=1，1-1=0，

0-1=-1，-1-1=-2，

-2-1=-3，-3-1=-4，

…，-999-1=-1000，

-1000-1=-1001，…

2.整數的加法

由于整數包括自然數和負整數，而自然數已有加法定義、加法性質及運算律，現在加進了負整數後，又如何相加？

這裡面涉及負整數與負整數，負整數與自然數如何相加的問題，相加的含義是什麼？

弄清相加含義和方法後，它們仍然滿足自然數中加法性質和運算律嗎？會不會出現哪些不同的？

先看負整數與負整數之間相加的含義：

我手中無錢，先欠你10元，又向你借了10元，問合起來我手中一共有多少錢？

顯然：我手中無錢，并欠你20元。這可用數式記為（-10）＋（-10）＝-20。

由于連續幹旱，農田用水增加，加上人蓄飲用水不停，供水水庫這兩天水位連續下降，昨天降了2米，今天又降了3米，問這兩天水庫水位一共升了多少米？

顯然共降了5米，即上升了-5米。用數式寫為：（-2）＋（-3）＝-5。

一般地，可得a，b是兩個正整數時，（-a） （-b）=-（a＋b）。

這就是說，兩個負整數相加，符号仍為負号，再把它們的相反數相加。

所以兩個負整數之和仍是負整數，且這個負整數比兩個加數均小。如（-2）＋（-3）＝-5中

-2＞-5，-3＞-5。

這就得到了兩個負整數的和的含義及計算方法。

由于先欠你2元，後欠你3元，與先欠你3元，後欠你2元，實際結果都是欠你5元。用式子表示為：

（-2）＋（-3）＝（-3）＋（-2）＝-5。

由于水位先降8米，後降10米，與先降10米，後降8米，都是共降18米。用式子表示為：

（-8）＋（-10）＝（-10）＋（-8）＝-18。

一般地有：可得a，b是兩個正整數時，

∵（-a） （-b）=-（a＋b），（-b） （-a）=-（b＋a）＝-（a＋b），

∴（-a） （-b）＝（-b） （-a）。

即兩個負整數的和滿足交換。

由于我若三次分别借了你5元，8元，13元，不管順序如何，實際上都欠你26元。

用數式表示為：

（（-5） （-8））＋（-13）

＝（-5）＋（（-8） （-13））

＝-26

一般有：a，b，c是兩個正整數時，

∵（（-a） （-b））＋（-c）

＝（-（a＋b））＋（-c）

＝-（a＋b＋c）

（-a） （（-b）＋（-c））

＝（-a）＋（-（b＋c））

＝-（a＋b＋c）

∴（（-a） （-b））＋（-c）

＝（-a） （（-b）＋（-c））

可見，負整數的加法仍然滿足結合律。

還有負整數與自然數的加法呢？

先說負整數與0的加法吧。

第一次我沒找你借錢，第二次我找你借了5元錢時，0＋（-5）＝-5。

第一次我找你借了5元錢，第二次我沒找你錢時，（-5）＋0＝-5。

可見負整數與0的和仍然是這個負整數，且負整數與0的和與順序無關，即仍然滿足交換律。

可讓負整數與0的和也滿足結合律。請自證。

那負整數與正整數的和含義與計算方法又是怎麼樣的呢？

我買了3個面包，吃了2個，還有幾個面包？

答：手中還有3＋（-2）＝＋（3-2）＝1個面包。

我買了2個面包，但吃3個才能吃飽，我要吃飽，應怎麼辦？

答：手中還有2＋（-3）＝-（3-2）＝-1個面包，即還需買一個面包才行。

我買了2個面包，現吃了2個，我手中有幾個面包？

答：手中還有2＋（-2）＝＋（2-2）＝0個面包，即沒有面包。

一般地有：

互為相反數的兩數和為0，即a為正整數時，a＋（-a）＝0。

若負整數的相反數比正整數小，則它們的和為一個正數，隻需要将正整數減去負整數的相反數。如：

（-350） 400

＝＋（400-350）

＝50。

若負整數的相反數比正整數大，則它們的和為一個負數，和值需先寫一個負号，再寫上用負整數的相反數減去正整數得到的差數。如：

（-400） 350

＝-（400-350）

＝-50。

用式子表示為：

設a，b是兩個正整數，則：

當a＝b時，（-a）＋b＝0，

當a＜b時，（-a）＋b＝＋（b-a），

當a＞b時，（-a）＋b＝-（a-b）。

由上面定義知：

a，b是兩個正整數，則：

當a＝b時，b＋（-a）＝0，

當a＜b時，b＋（-a）＝＋（b-a），

當a＞b時，b＋（-a）＝-（a-b）。

比較結論可知：a，b為正整數時，均有

（-a）＋b＝b＋（-a）

所以，正整數與負整數的和滿足交換律。

由實際意義可知正、負整數的和滿足交換律。如：

我前二次借了你50元和30元，第三次你在我手中拿了100元走，問我手中還有你多少錢？

答：（50 30）＋（-100）

＝-20。即你欠我20元。

如果是第一次我借了你50元，第二次你在我手中拿了100元走，第三次我借了你30元，問我手中還有你多少錢？

答：（（50＋（-100））＋30

＝（-50）＋30＝-20。

比較上兩式所得結果發現是一樣的，即：

（50 30）＋（-100）

＝（（50＋（-100））＋30。

可見含三個正、負整數的和，先加這兩個，還是先加另兩個，和不交。這就是加法的結合律。

一般情況，請自行分類讨論去證明。

到此為止，我們就知道了，自然數加了新的負整數，得到整數後，加法的含義是什麼，加法是怎麼做的，并知道了整數的加法仍然滿足加法的交換律和結合律。

為了簡便書寫整數加法含義，我們引進絕對值概念，規定：一個正數與0的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數。并把數a的絕對值記為la丨。

這樣有：a＞0時lal＝a，l0l＝0，a＜0時lal＝-a。

如l304l＝304，l-1l＝1，l-1l＝1，l-3l＝3，l-9l＝9，l-3809l＝3809。

可以看出，整數取絕對值的作用就是去掉負号，把整數轉化為自然數。

由此我們知道lal≥0。

這樣一來，我們就有：

已知整數a，b，

若a≥0，b≥0，a＋b按自然數加法進行。

若a≤0，b≤0，則a＋b＝-（lal＋lbⅠ）。

若a≥0，b≤0，則：

①當laⅠ＞lbⅠ時a＋b＝＋（laⅠ-lbⅠ），

②當laⅠ＜lbⅠ時a＋b＝-（lbⅠ-laⅠ）

③當laⅠ＝lbⅠ時a＋b＝0。

若a≥0，b≥0，a＋b按自然數加法進行。

這就是整數加法的定義及計算方法。可以看出，要分很多情況來讨論，才能得出和值。

由前讨論知：

若a，b，c∈Z，則有：

①a＋b＝b＋a（交換律）。

②（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）（結合律）。

運算律可以簡化我們的計算。如：56 （-32） （-21） （-44）

＝56＋（-（32＋21＋44））

＝56＋（-97）

＝-（97-56）

＝-41。

或56 （-32） （-21） （-44）

＝（56 （-44）） （（-32） （-21））

＝12＋（-53）

＝-（53-12）

＝-41。

3.整數的減法

由前知：a＋b＝0時，a，b互為相反數。

自然數中減法是加法的逆運算。

所以兩個整數的減法我們給出如下定義：

a-b＝＝a＋（-b）

即a減去b的差就是a與b的相反數的和。

如：5-4=5 （-4）=1，這與自然數減法是相符的。

3-5=3 （-5）

=-（5-3）=-2，

這就是我有3支筆，你要拿走5支，我手中還差2支。

3-（-55）=3 55=58，

這就是我有3個包子，去掉你從我這拿走的55個包子，也就是我有3個包子，你又還了我55個包子，我手中實有58個包子。

（-65）-（-43）

=（-65）＋43

＝-（65-43）

=-22。

這就是我欠你65元錢，去掉你從我欠你的43元，就是我還了你43元，當然實欠你22元了。

也就是說，整數的減法雖多出了自然數與自然相減時不夠減的情況，多出了自然數減負整數的情況，多出了負整數減負整數的情況，但與自然數内部減法一樣，不但統一了作減法的樣式和步驟，也有相同實際意義。

對于整數計算式中去括号的問題，我們舉例說明如下：

∵-22 （（-65）-（-43））

＝-22 （-（65-43））

=-22 （-22）

=-44，

-22 （-65）-（-43）

＝-87 43

=-（87-43）

=-44，

∴-22 （（-65）-（-43））

＝-22 （-65）-（-43）。

即括号前為＋号時，去掉括号後，括号内各數保持不變。

又∵-22-（（-65）-（-43））

＝-22-（-22）

=0，

-22-（-65）＋（-43）

＝-22 65 （-43）

＝43-43

=0，

∴-22-（（-65）-（-43））

＝-22-（-65）＋（-43）。

即括号前為-号時，去掉括号後，括号内各數均應改變符号，＋号變成-号，-号變成＋号。

一般地有：若整數加減式中含有括号，去每層括号時，仍遵循去括号法則：

a，b，c∈Z時，

a＋（b＋c）＝a＋b＋c，

a-（b＋c）＝a-b-c，

a-（b-c）＝a-b＋c，

a-（-b＋c）＝a＋b-c，

a-（-b-c）＝a＋b＋c。

由前面知識我們知道，任兩個整數的差仍為整數，所以整數加法具有封閉班性。即：

a∈Z，b∈Z，則a-b∈Z成立。

這是與自然數減法的最大區别，是自然數引進了負整數後，将減法的不封閉變成了封閉。

可見，引進了負整數後，數的性質變得更完善、完備和完美。

整數減法還具有下列性質：

0-0＝0，

0-a＝0＋（-a）＝-a，

0-（-a）＝0＋a＝a，

a-0=a＋0＝a，

a-a＝0，（-a）-（-a）＝0，

lal＝I-aI，

若Ial＝5，則a＝±5。

…

問題：la＋bI＝？

la-bI＝？

4.整數的乘法（後續）

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