一道高中數學的線段最值問題

【題目】如圖，平面四邊形ABCD的對角線交點位于四邊形的内部，AB=1，BC=√2，AC=CD，AC⊥CD，當∠ABC變化時，對角線BD的最大值為 ．

分析：

①已知四邊形中部分的邊長關系求另外的邊，容易想到的就是解三角形，因此考慮用正弦定理與餘弦定理；

②由于求最值，又容易想到用導數的方式去解決；

③因為原題是高中數學題，所以思維定勢，一般隻能想到上面的兩種方法，但是其實用初中幾何輔助線的方式可以快速解決．見等腰則考慮使用旋轉．

答案：

【方法一】（三角函數法）：

解：設∠ABC＝α，∠ACB＝β，

由餘弦定理可得

AC²=1 2-2√2cosα＝3﹣2√2cosα，

∴AC=√(3-2√2 cosα)=CD．

由正弦定理可得：

sinβ=(√2sinα)/√(3-2√2 cosα)，

∴BD²＝2 3﹣2√2cosα﹣2×√2×√(3-2√2 cosα)cos（90° β）

＝5﹣2√2cosα 2√2×√(3-2√2cosα)sinβ

＝5﹣2√2cosα 2√2sinα

＝5 4sin(α-π/4)，

∴α=3π/4時，BD²有最大值9，

即BD的最大值為3．

【方法二】（導數法）：

解：設∠ACB＝α，

AC=t（√2-1＜t＜√2 1），

由餘弦定理可得

cosα=（t² 2-1）/2√2t，

∴sinα=√（1-cos²α）

=√[-（t²-3）² 8]/2√2t，

在△BCD中，由餘弦定理得，

BD²=BC² CD²-2BC·CDcos∠BCD

=2 t² √[-（t²-3）² 8]，

設t²-3=x（-2√2＜x＜2√2），

則BD²=5 x √（8-x²），

設f（x）=5 x √（8-x²），

則f′（x）=1 2x/（8-x²）

=-（x² 2x-8）/8-x²，

當x=-2時，f′（x）=0，

當-2√2＜x＜-2時f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

當-2＜x＜2√2時f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

∴當x=2時，BD²的最大值為f（2）=9，即BD的最大值為3．

【方法三】（旋轉法）：

解：如圖，将△ABC繞點C逆時針旋轉90°，

使得AC與DC重合，點B落在點B′上，

∴△BCB′為等腰直角三角形，BB′=2，B′D=AB=1，

∵BD≤BB′ B′D=2 1，

∴BD的最大值為3．

【總結】

觀察下面的動圖，我們可以發現點C是以B為圓心，√2為半徑的圓上運動的，當B、B′、D三點共線的時候分别取到最大值和最小值，也就是

2-1≤BD≤2 1．

很多時候題目的難易就在一個點上，如果突破了，那麼就不難了．阻礙我們的常常就是那個“思維定勢”．

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