一元二次方程作為初中數學代數裡重要内容之一，在中考數學中一直占有重要的地位。如中考數學會考查一元二次方程及其相關概念、一元二次方程的解法（直接開平方法、配方法、公式法、分解因式法），運用一元二次方程去解決實際生活當中的問題等應用題，這些都是中考的常考考點。

同時，我們也要充分認識到，學好一元二次方程，可以為以後學好一元二次不等式、指數方程、對數方程、三角方程、函數、二次曲線等内容打下一個堅實的基礎。

二次函數就是最直接的例子，一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)就是二次函數y=ax2 bx c(a≠0)，當y=0時的特殊情況。要想學好一元二次方程，首先要學好這些基礎知識内容，如實數與代數式的基本運算、一元一次方程等。

什麼是一元二次方程呢？

含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。

中考數學，一元二次方程，典型例題分析1：

已知關于x的一元二次方程x2﹣6x （2m 1）=0有實數根．

（1）求m的取值範圍；

（2）如果方程的兩個實數根為x1，x2，且2x1x2 x1 x2≥20，求m的取值範圍．

解：（1）根據題意得△=（﹣6）2﹣4（2m 1）≥0，

解得m≤4；

（2）根據題意得x1 x2=6，x1x2=2m 1，

而2x1x2 x1 x2≥20，

所以2（2m 1） 6≥20，解得m≥3，

而m≤4，

所以m的範圍為3≤m≤4．

題幹分析：

（1）根據判别式的意義得到△=（﹣6）2﹣4（2m 1）≥0，然後解不等式即可；（2）根據根與系數的關系得到x1 x2=6，x1x2=2m 1，再利用2x1x2 x1 x2≥20得到2（2m 1） 6≥20，然後解不等式和利用（1）中的結論可确定滿足條件的m的取值範圍．

解題反思：

本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的兩根時，x1 x2=﹣b/a，x1x2=c/a，也考查了根與系數的關系。

熟記一元二次方程的解法：

1、直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法适用于解形如（x a）2=b的一元二次方程。

2、配方法

配方法是一種重要的數學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數學的其他領域也有着廣泛的應用。配方法的理論根據是完全平方公式a2±2ab b2=（a±b）2，把公式中的a看做未知數x，并用x代替，則有x2±2xb b2=（x±b）2。

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

四種解法又各有特點，其基本思想是降次，隻有準确把握，解方程時才會得心應手。值得注意：公式法雖然是萬能的，對任何一元二次方程都适用，但不一定是最簡單的，因此在解方程時我們首先考慮能否應用“直接開平方法”、“因式分解法”等簡單方法，若不行，再考慮公式法（适當也可考慮配方法）當方程中有括号時，應先用整體思想考慮有沒有簡單方法，若看不出合适的方法時，則把它去括号并整理為一般形式再選取合理的方法。

中考數學，一元二次方程，典型例題分析2：

已知關于x的一元二次方程x2﹣（2m 3）x m2 2=0．

（1）若方程有實數根，求實數m的取值範圍；

（2）若方程兩實數根分别為x1、x2，且滿足x12 x22=31 |x1x2|，求實數m的值．

解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣（2m 3）x m2 2=0有實數根，

∴△≥0，即（2m 3）2﹣4（m2 2）≥0，

∴m≥﹣1/12；

（2）根據題意得x1 x2=2m 3，x1x2=m2 2，

∵x12 x22=31 |x1x2|，

∴（x1 x2）2﹣2x1x2=31 |x1x2|，

即（2m 3）2﹣2（m2 2）=31 m2 2，

解得m=2，m=﹣14（舍去），

∴m=2．

考點分析：

根的判别式；根與系數的關系．

題幹分析：

（1）根據根的判别式的意義得到△≥0，即（2m 3）2﹣4（m2 2）≥0，解不等式即可；

（2）根據根與系數的關系得到x1 x2=2m 3，x1x2=m2 2，再變形已知條件得到（x1 x2）2﹣4x1x2=31 |x1x2|，代入即可得到結果．

解題反思：

本題考查了一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根。

本題也考查了一元二次方程根與系數的關系。

一元二次方程根與系數的關系：

如果方程ax2 bx c=0（a≠0）的兩個實數根是x1，x2，那麼x1 x2=﹣b/a，x1x2=c/a。也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。

值得注意：在實數範圍内，利用一元二次方程根與系數的關系解題，必須注意b2-4ac﹥0的限制條件。

一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）中，b2﹣4ac叫做一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的根的判别式，通常用“△”來表示，即△=b2﹣4ac.

當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；

當△=0，方程有兩個相等的實數根；

當△＜0，方程沒有實數根。

通過解一元二次方程，運用一元二次方程解應用題等，在這些解題的過程中，我們要學會轉化等數學思想方法的運用。

直白地講，學好一元二次方程相關概念以及解法，是學好一元二次方程的前提條件。要想在實際生活問題中提煉一元二次方程，運用一元二次方程去解決實際問題，那麼大家就必須學好轉化思想方法。

中考數學，一元二次方程，典型例題分析3：

某地2017年為做好“精準扶貧”，授入資金1280萬元用于異地安置，并規劃投入資金逐年增加，2019年在2017年的基礎上增加投入資金1600萬元．

（1）從2017年到2019年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少？

（2）在2019年異地安置的具體實施中，該地計劃投入資金不低于500萬元用于優先搬遷租房獎勵，規定前1000戶（含第1000戶）每戶每天獎勵8元，1000戶以後每戶每天補助5元，按租房400天計算，試求今年該地至少有多少戶享受到優先搬遷租房獎勵？

解：（1）設該地投入異地安置資金的年平均增長率為x，根據題意，

得：1280（1 x）2=1280 1600，

解得：x=0.5或x=﹣2.25（舍），

答：從2017年到2019年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為50%；

（2）設今年該地有a戶享受到優先搬遷租房獎勵，根據題意，

得：1000×8×400 （a﹣1000）×5×400≥5000000，

解得：a≥1900，

答：今年該地至少有1900戶享受到優先搬遷租房獎勵．

考點分析：

一元二次方程的應用．

題幹分析：

（1）設年平均增長率為x，根據：2017年投入資金×（1 增長率）2=2019年投入資金，列出方程組求解可得；

（2）設今年該地有a戶享受到優先搬遷租房獎勵，根據：前1000戶獲得的獎勵總數 1000戶以後獲得的獎勵總和≥500萬，列不等式求解可得。

中考數學，一元二次方程，典型例題分析4：

青海新聞網訊：2016年2月21日，西甯市首條綠道免費公共自行車租賃系統正式啟用．市政府今年投資了112萬元，建成40個公共自行車站點、配置720輛公共自行車．今後将逐年增加投資，用于建設新站點、配置公共自行車．預計2018年将投資340.5萬元，新建120個公共自行車站點、配置2205輛公共自行車．

（1）請問每個站點的造價和公共自行車的單價分别是多少萬元？

（2）請你求出2016年到2018年市政府配置公共自行車數量的年平均增長率．

考點分析：

一元二次方程的應用；二元一次方程組的應用．

題幹分析：

（1）分别利用投資了112萬元，建成40個公共自行車站點、配置720輛公共自行車以及投資340.5萬元，新建120個公共自行車站點、配置2205輛公共自行車進而得出等式求出答案；

（2）利用2016年配置720輛公共自行車，結合增長率為x，進而表示出2018年配置公共自行車數量，得出等式求出答案。

随着新課改的不斷深入，現在的中考越來越考查考生的綜合能力，如應用數學知識去解決具體的問題等。在平時的學習過程中，我們要結合一元二次方程的知識結構和具體問題，列出知識網絡圖，主動去探索發現問題，由特殊到一般地提出問題，不斷提高思維能力，優化學習方式，掌握相應的解題方法，多動手、動腦、動口，肯定能學好一元二次方程。

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