1.特殊數題(1)21－12

當被減數和減數個位和十位上的數字(零除外)交叉相等時，其差為被減數與減數十位數字的差乘以9。

因為這樣的兩位數減法，最低起點是21－12，差為9，即(2－1)×9。減數增加1，其差也就相應地增加了一個9，故31－13＝(3－1)×9＝18。減數從12—89，都可類推。

被減數和減數同時擴大(或縮小)十倍、百倍、千倍……，常數9也相應地擴大(或縮小)相同的倍數，其差不變。如

210－120＝(2－1)×90＝90，

0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。

(2)31×51

個位數字都是1，十位數字的和小于10的兩位數相乘，其積的前兩位是十位數字的積，後兩位是十位數字的和同1連在一起的數。

若十位數字的和滿10，進1。如

證明：(10a＋1)(10b＋1)

＝100ab＋10a＋10b＋1

＝100ab＋10(a＋b)＋1

(3)26×86 42×62

個位數字相同，十位數字和是10的兩位數相乘，十位數字的積與個位數字的和為積的前兩位數，後兩位是個位數的積。若個位數的積是一位數，前面補0。

證明：(10a＋c)(10b＋c)

＝100ab＋10c(a＋b)＋cc

＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。

(4)17×19

十幾乘以十幾，任意一乘數與另一乘數的個位數之和乘以10，加個位數的積。

原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323

證明：(10＋a)(10＋b)

＝100＋10a＋10b＋ab

＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。

(5)63×69

十位數字相同，個位數字不同的兩位數相乘，用一個乘數與另個乘數的個位數之和乘以十位數字，再乘以10，加個位數的積。

原式＝(63＋9)×6×10＋3×9

＝72×60＋27＝4347。

證明：(10a＋c)(10a＋d)

＝100aa＋10ac＋10ad＋cd

＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。

(6)83×87

十位數字相同，個位數字的和為10，用十位數字加1的和乘以十位數字的積為前兩位數，後兩位是個位數的積。如

證明：(10a＋c)(10a＋d)

=100aa＋10a(c＋d)＋cd

＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。

(7)38×22

十位數字的差是1，個位數字的和是10且乘數的個位數字與十位數字相同的兩位數相乘，積為被乘數的十位數與個位數的平方差。

原式＝(30＋8)×(30－8)

＝30²－8²＝836。

(8)88×37

被乘數首尾相同，乘數首尾的和是10的兩位數相乘，乘數十位數字與1的和乘以被乘數的相同數字，是積的前兩位數，後兩位是個位數的積。

(9)36×15

乘數是15的兩位數相乘。

被乘數是偶數時，積為被乘數與其一半的和乘以10；是奇數時，積為被乘數加上它本身減去1後的一半，和的後面添個5。

＝54×10＝540。

55×15

(10)125×101

三位數乘以101，積為被乘數與它的百位數字的和，接寫它的後兩位數。125＋1＝126。

原式＝12625。

再如348×101，因為348＋3＝351，

原式＝35148。

(11)84×49

一個數乘以49，把這個數乘以100，除以2，再減去這個數。

原式＝8400÷2－84

＝4200－84＝4116。

(12)85×99

兩位數乘以9、99、999、…。在被乘數的後面添上和乘數中9的個數一樣多的0、再減去被乘數。

原式＝8500－85＝8415

不難看出這類題的積：

最高位上的兩位數(或一位數)，是被乘數與1的差；

最低位上的兩位數，是100與被乘數的差；

中間數字是9，其個數是乘數中9的個數與2的差。

證明：設任意兩位數的個位數字為b、十位數字為a(a≠0)，則

如果被乘數的個位數是1，例如

31×999

在999前面添30為30999，再減去30，結果為30969。

71×9999＝709999－70＝709929。

這是因為任何一個末位為1的兩位自然數都可表示為(10a＋1)的形式，由9組成的自然數可表示為(10ⁿ－1)的形式，其積為

(10a＋1)(10ⁿ－1)＝10^n＋1a＋(10ⁿ－1)－10a。

(13)1÷19

這是一道頗為繁複的計算題。

原式＝0.052631578947368421。

根據“如果被除數不變，除數擴大(或縮小)若幹倍，商反而縮小(或擴大)相同倍”和“商不變”性質，可很方便算出結果。

原式轉化為0.1÷1.9，把1.9看作2，計算程序：

(1)先用0.1÷2＝0.05。

(2)把商向右移動一位，寫到被除數裡，繼續除

如此除到循環為止。

仔細分析這個算式：

加号前面的0.05是0.1÷2的商，後面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移動一位寫到被除數裡，除以1.9。這樣我們又可把除數看作2繼續除，依此類推。

除數末位是9，都可用此法計算。

例如1÷29，用0.1÷3計算。

1÷399，用0.1÷40計算。

怎麼樣？簡單吧！你學會了嗎？擺脫計算器，快樂的學習數學吧！

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