人工智能數學基礎系列文章

• 1. 人工智能數學基礎----導數
• 2. 人工智能數學基礎----矩陣
• 3. 人工智能數學基礎----線性二階近似

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今天複習矩陣，作為程序員，矩陣在程序中的應用想必或多或少都接觸過，特别是在圖像變化算法上的應用。

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一、矩陣

1. 定義

矩陣（Matrix）是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合，最早來自于方程組的系數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。（此定義來自百度百科）

下面通過一個方程組來聲明一個矩陣（數學符号在PC上書寫真是很麻煩，不知道誰有好用的公式符号書寫軟件推薦下）：

以上是一個三元一次方程組，根據矩陣的來源定義，有矩陣A如下圖

2. 矩陣的運算

2.1. 矩陣的加法

從上圖中我們可以看出，矩陣A和矩陣B相加，它們都是2 x 2的矩陣，相加就是兩個矩陣對應的元素值的相加，比如：矩陣A的一行一列元素3和矩陣B的一行一列的元素-7相加，得到新的矩陣的一行一列元素-4，以此類推計算出一個新的矩陣。上圖中A B計算的結果和B A是一樣的，符合加法的交換律。 重新定義兩個矩陣A[2x2]和B[2x3]：

矩陣A是2行2列，矩陣B是2行3列，如果A B，根據上面兩個矩陣相加的計算法則，會發現矩陣B的第三列元素沒有辦法相加。所以結論是： 當兩個矩陣相加的時候，這兩個矩陣的維數（行列個數）必須是相同的，比如要麼都是 2x2，要麼都是3x3等等。 同樣的如果是A B C三個或者更多的矩陣的相加計算方式也是一樣的。2.2. 矩陣的減法

上圖可以看出，矩陣A-B的計算就是對應的每個元素的相減，而且有個規律是： 矩陣A-B = -(B-A)，同矩陣加法一樣，做減法的兩個或者多個矩陣的維數（行列個數）必須是一樣的，否則無法進行減法運算。2.3. 矩陣的乘法

有矩陣A和B，兩個矩陣相乘，A的a11（表示矩陣的第一行第一列元素）、a12 分别和B的第一列的兩個元素相乘後相加，作為新的矩陣的a11元素值。

上圖就很清楚的描述了，矩陣乘法的計算規則。

假設有兩個矩陣C和D，分别是C·D和D·C，很明顯計算出的結果不相同，所以通常情況下矩陣的乘法是不滿足：乘法交換律的，即：C·D≠D·C

如上圖，你會發現也不是任何兩個矩陣都能夠相乘，隻有乘數矩陣A的列數和被乘矩陣B的行數相同的時候，兩個矩陣才能相乘。

3. 單位矩陣

在介紹單位矩陣之前，說介紹什麼是方陣，顧名思義，方陣就是方的，行數和列數一樣的矩陣，比如：

像上圖這樣，行列一樣的矩陣就是方陣，這很直觀也很好理解。單位矩陣，是一直特殊的方陣，它的所有元素由0和1組成，并且對角線的元素為1,其餘元素為0，當然一階的單位矩陣隻含有一個元素1：I₁ = [1]。

以上四個方陣都是單位矩陣，分别是I₂二階單位矩陣、I₃三階單位矩陣、四階和五階的單位矩陣。單位矩陣的階數可以無限擴大，比如n階的單位矩陣:

單位矩陣有一個特殊重要的性質，I·A = A，A·I = A，這裡的矩陣A是一個和單位矩陣同個維數的方陣，不是方陣無法和單位矩陣相乘，這個性質很容易證明，舉個例子就知道了：

反過來A·I 也等于A4. 逆矩陣

如上圖，如果一個矩陣可逆，那麼就會有性質：A^-1·A=I，I是一個單位矩陣。逆矩陣的求法，如上圖所示，逆矩陣 = 矩陣行列式的倒數值 * 矩陣A的伴随矩陣。當矩陣A的行列式如果等于0，即ad - bc = 0，或者 a/c = b/d，那麼這個矩陣不存在逆矩陣（行列式的倒數1/|A|沒有定義），我們也稱這樣的矩陣叫 “奇異矩陣”。

（未完待續。。。。）

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