人生就像解方程，運算的每一步似乎都無關大局，但對最終求解卻是必要的。結果往往令人神往，我卻更喜歡過程本身，過程就是結果的奧秘所在。

------馮定

1.運算的概念與分類

運算，數學上，運算是一種行為，通過已知量的可能的組合，獲得新的量。運算的本質是集合之間的映射。（本文讨論的運算以江蘇的高考數學為準）

運算一般可以分為一元運算、二元運算和混合運算。

一元運算有絕對值、三角函數、邏輯非等等，這些都是一元運算，本質上是A→B形式的映射。

二元運算，本質上是A×B→C形式的映射。代數運算都是二元運算，如數與數之間的加、減、乘、除、乘方、開方、對數;集合與集合之間的交、并、補;邏輯且、邏輯或等。

數學上對二元運算有如下定義:假設S和T分别是集合，S上的一個T值運算R就是指笛卡爾直積S×S到T的一個映射，也就是映射:

R:S×S→T

運算的性質

R:S×S→T

按照傳統的寫法，對于S中的兩個元素a,b, 我們用aRb來表示這個運算。

當S=T時，我們就說這個運算是封閉的。

比如S=T是實數集合，此時我們就可以分别定義加減乘除運算。

又比如S是n維實向量集合，T是實數集合，我們就可以定義内積運算。

除了上述常見的代數運算之外，還有許多其它的運算， 比如開方運算，導數運算，積分運算，取整運算等等。

這些運算可以看成是"算子"的作用。所謂算子，可以看成是作用在運算元素上的函數符号。 比如減法運算的算子就是減号-，開方運算的算子就是根号√￣，導數運算的算子就是d/dx，積分運算的算子就是積分号∫。

混合運算，我們最常見的就是加法、減法、乘法、除法混合在一起的運算，稱為四則混合運算。其中，加法和減法叫做第一級運算;乘法和除法叫做第二級運算。高中還會加上其他的運算與四則運算一起在進行運算。

比如：

2.加減運算

2.1加法

加法是基本的四則運算之一，它是指将兩個或者兩個以上的數、量合起來，變成一個數、量的計算。

2.1.1基本定義

基本定義

一般來說，在一個集合F上定義一個二元關系“ ”，滿足：

（1）交換律：對任意的 a , b ∈ F ，a b = b a ∈ F；

（2）結合律：對任意的 a , b , c ∈ F ，a (b c) = (a b) c；

（3）單位元：存在一個元素 0 ∈ F ，滿足對任意的 a ∈ F ，a 0 = 0 a = a；

（4）逆元：對任意的 a ∈ F ，存在一個元素 (-a) ∈ F ，滿足 a (-a) = 0。

“ ”稱作定義在集合F上的加法。

“ ”是加号，加号前面和後面的數是加數，“=”是等于号，等于号後面的數是和。

2.12運算的封閉性

加法對自然數集（N）是封閉的，自然對整數集（Z）、有理數集（Q）、實數集（R）、複數集（C）也是封閉的

2.2減法

減法是四則運算之一，從一個數量中減去另一個數量的運算叫做減法;已知兩個加數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算叫做減法。表示減法的符号是"-"，讀作減号。

性質，減去一個數，等于加這個數的相反數。如，a-b-c=a-(b c)

算式名稱，"-"是減号，減号前面的數是被減數，減号後面的數是減數，"="是等于号，等于号後面的數是差。即，被減數—減數=差。

減法運算是加法運算的逆運算。在數學上二者并無什麼本質上的不同。

減法對自然數集（N）是不封閉的，對整數集（Z）、有理數集（Q）、實數集（R）、複數集（C）是封閉的。

減法運算直接導緻負數的出現，好像是水到渠成的事情。曆史表明，人類接受一種新數的過程是漫長而又坎坷的。

負數的概念一直遲至十二世紀末，才由意大利數學家斐波那契做出正确的解釋。但是直到18世紀，仍有一些學者認為負數是“荒唐、無稽的”。他們振振有詞地說：“零是什麼都沒有”，那麼負數，即小于零的數是什麼東西呢？難道會有什麼東西比“什麼也沒有”還有小嗎？他們好像對“請你給我五個蘋果，可是我隻有三個蘋果的錢，這樣我還欠你兩個蘋果的錢”這樣問題的數學表述( 3)-( 5)=(-2)視而不見。

3.乘除運算

3.1乘法

乘法是指将相同的數加起來的快捷方式。其運算結果稱為積。從哲學角度解析，乘法是加法的量變導緻的質變結果。是四則運算之一。

名稱，"×"是乘号，乘号前面和後面的數叫做因數，"="是等于号，等于号後面的數叫做積。

意義，3×5表示5個3相加，5x3表示3個5相加。常把乘号後面的因數做為乘号前因數的倍數。

法則，兩數相乘，同号得正，異号得負。

運算定律，整數的乘法運算滿足:交換律，結合律， 分配律，消去律。

1° 乘法交換律:ab=ba ，注:字母與字母相乘，乘号不用寫，或者可以寫成•。

2° 乘法結合律:(ab)c=a(bc)，

3° 乘法分配律:(a b)c=ac bc。

小曆史：《九九乘法歌訣》，又常稱為"小九九"。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《戰國策》等書中就能找到"三九二十七"、"六八四十八"、"四八三十二"、"六六三十六"等句子。由此可見，早在"春秋"、"戰國"的時候，《九九乘法歌訣》就已經開始流行了。

乘法對加法對自然數集（N）是封閉的，自然對整數集（Z）、有理數集（Q）、實數集（R）、複數集（C）也是封閉的

3.2除法

除法是四則運算之一。已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算，叫做除法。即有，被除數÷除數=商，被除數÷商=除數，商*除數 餘數=被除數，除數不能為零（0）.

除法法則，除數是幾位，先看被除數的前幾位，前幾位不夠除，多看一位，除到哪位，商就寫在哪位上面，不夠商1，0占位。餘數要比除數小，如果商是小數，商的小數點要和被除數的小數點對齊；如果除數是小數，要化成除數是整數的除法再計算。

商不變性質， 被除數和除數同時乘或除以一個非零自然數，商不變。

除法的性質，一個數連續除以幾個數，等于這個數除以那幾個數的乘積。可以根據除法的性質來進行簡便運算。如：300÷25÷4=300÷（25×4）

除法運算對自然數集（N）是不封閉的，對整數集（Z）是不封閉的、對有理數集（Q）、實數集（R）、複數集（C）是封閉的。

除法運算是乘方運算的逆運算，在數學上二者并無什麼本質上的不同。

讨論題：為什麼先算括号再算乘除最後算加減？

網上有段文字談人生的加減乘除，寫的很好，節錄如下：

我們的現實生活就象一張草稿紙，任由我們演算每一天的加減乘除法。我們這裡所謂的加就是加倍努力、減就是減少煩雜、乘就是乘勢而上、除就是除惡存善。學習要加，驕傲要減，機會要乘，懶惰要除。

園藝家說：“人生就是加法。種子生根發芽，加進水分和養料，才能根深枝繁葉茂開花結果。”

雕塑家說：“人生就是減法。巨石精雕細琢，減去多餘的部分，才能雕琢成一尊精美的雕像。”

數學家說：“人生就是乘法。精心規劃人生，精确設計每一個步驟，乘以所有的秀品質和最佳方法，才能成就成功人生。”

地礦家說：“人生就是除法。礦石冶煉成金，除去雜質需要千錘百煉，才能黃沙吹盡始見真金。”

加是一種成長，減是一種成熟，乘是一種跨越，除是一種超脫。

3.乘方（幂）

乘方(involution)是指求相同因數的積。乘方運算的結果叫幂(power)。正數的任何次幂都是正數，負數的奇數次幂是負數，負數的偶數次幂是正數。

注：本文讨論的指數暫限定在整數範圍内，分數指數幂需要結合根式來講更合理。

幂運算對對自然數集（N）是不封閉的，對整數集（Z）是不封閉的、對有理數集（Q）、實數集（R）、複數集（C）是封閉的（此結論是在整數指數幂時成立）。

3.1同底數幂法則

3.2幂的運算法則

3.3關于指數幂的幾個小故事

這裡要用到等比數列的概念：一個數列，從第二項起每一項與前一項的比是個定值（公比，不能為零），我們就稱這個數列為等比數列。

指數函數的概念：一般地，y=a^x函數(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函數，函數的定義域是 R 。

3.3.1

莊子（約前369－前286），戰國中期哲學家，在其《莊子﹒天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”意思是，把長為一尺的木棒，每天取下前一天所剩下的一半，如此下去，永遠也取不完。（一世是三十年，這裡不具指多長時間，形容時間長）

這個問題在我們的直觀感覺中截取是可以永遠進行的，但是曆史的發展與認識是在不斷變化的。

我們知道，在分子中兩個原子間的距離大約是0.1nm。

如果從2017年09月01号開始，每天取其半，到2017年10月02号時已經要開始對一個原子進行切割。從此時開始，切割者可能明顯地感覺到這根木棒不再是連續的了。也就說從此時感覺到有一些特殊的結構。我們知道，曆史讓連續性在此戛然而止。

注：量子論表達的思想非常明确：無論是光子還是其它物質不再是連續的了，都是一份份的，或者說是分散的、量子的，反正是不連續的。這種不連續性我們也稱之為粒子性。

這也是不媚古的反思吧！

3.3.2

中國古代有一個“浮萍七子”的趣味題：浮萍夜産七子(連同母萍)，則一葉浮萍逐日應得浮萍數應是一個等比數列：1，7，7²，7³，…《孫子算經》中也記載了一個公比為9的等比數列問題：今有人出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何．書中給出了正确的答案，但沒有解法的詳細說明．

3.3.3

印度的舍罕王打算重賞國際象棋的發明者宰相西薩﹒班﹒達依爾，這位聰明的大臣向國王請求道：“陛下，請您在這張棋盤的第一個小格内賞給我一粒麥子；在第二個小格子内給兩粒；第三格四粒；照這樣下去每一格都比前一小格加一倍。陛下啊！把這些擺滿棋盤上所有的64格的麥粒，都恩賜給你的仆人吧！”

國王慷慨的許諾了西薩﹒班﹒達依爾的要求，卻不知已經掉進了宰相精心編織的圈套。

國王需要付出的麥粒數是：

這是長達二十位的天文數字!這樣多的麥粒，相當于全世界近兩千年的小麥産量。

3.3.4

賠了140萬法郎的拿破侖

公元1797年拿破侖在參觀國立盧森堡小學的時候，贈上了一束價值三個金路易的玫瑰花，并許諾說，隻要法蘭西共和國存在一天，他将每年送一隻價值相當的玫瑰花，以示兩國的友誼。此後，由于火與劍的征戰，拿破侖忘記自己最初的諾言。公元1894年，盧森堡國王向法蘭西提出了“玫瑰花懸案”，要求法國在拿破侖的名譽與1375596法蘭的債款中，二者選其一。這筆高達百萬的巨款就是三個金路易的本金，以5％的年利率，在97年的指數（乘方或幂）效應下的産物。

3.3.5

指數效應的故事還有細胞繁殖（海拉細胞繁殖）、折疊紙張（一張A4對折再對折如此30次後與珠穆朗瑪峰哪個高）、人口增長等等。

乘方的應用問題主要在等比數列類和指數函數類兩個方面。這類以指數規律便化的自然現象和社會現象，有一個極為重要的特性：即量A的變化量ΔA，總是與量A本身及其變化的時間Δt成正比 ΔA∝AΔA

事實上，令A=f(t)=a^t,則

ΔA=a^{t Δt}-a^t=a^t(a^Δt-1)=AΔt[(a^Δt-1)/ Δt]]

數學上可以證明，上式右端括号内的量，當變化時間很短時，趨向一個極限值K（實際上等于lna）,從而證得：ΔA≈KAΔt

反過來，數學家也已經證明：如果量A的變化量與它的本身及變化時間成正比（比列系數為K），那麼此時必有A=A₀e^kt 這裡A₀是變量A的初始值(t=0)，數e=2.718……則是一個與圓周率一樣重要的數學常量(了解請關注公衆号：莊子的那條魚)。

本文小結：

加法是完全一緻的事物的重複或累計，是數字運算的開始。減法是加法的逆運算；乘法是加法的特殊形式；除法是乘法的逆運算；乘方是乘法的特殊形式。數字運算的發展，是更特殊的情況，更高度重複下的規律。

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