數姐有話

一元二次方程中跟與系數的關系，是中考的一個難點，在未來高中階段，也是一個常考的點，所以，同學們在初學這塊内容時，要多多研究透徹！

知識點睛

1根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定義：

運用配方法解一元二次方程過程中得到

，顯然隻有當

時，才能直接開平方得：

．

也就是說，一元二次方程

隻有當系數a、b、c滿足條件

時才有實數根．這裡

叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式與根的關系：

在實數範圍内，一元二次方程

的根由其系數a、b、c确定，它的根的情況(是否有實數根)由

确定．

判别式：設一元二次方程為

，其根的判别式為：

則

①

方程

有兩個不相等的實數根

．

②

方程

有兩個相等的實數根

．

③

方程

沒有實數根．

若a、b、c 為有理數，且Δ為完全平方式，則方程的解為有理根；若Δ為完全平方式，同時

是2a的整數倍，則方程的根為整數根．

說明:Update

(1)用判别式去判定方程的根時，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反過來使用，當方程有兩個不相等的實數根時，Δ>0;有兩個相等的實數根時，Δ=0;沒有實數根時，Δ<0.

(2)在解一元二次方程時，一般情況下，首先要運用根的判别式

判定方程的根的情況(有兩個不相等的實數根，有兩個相等的實數根，無實數根)．當

=0時，方程有兩個相等的實數根(二重根)，不能說方程隻有一個根．

① 當a>0時，抛物線開口向上，頂點為其最低點；

② 當a<0時，抛物線開口向下，頂點為其最高點．

3.一元二次方程的根的判别式的應用：

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着廣泛的應用：

（1）運用判别式，判定方程實數根的個數；

（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中參數值或取值範圍；

（3）通過判别式，證明與方程相關的代數問題；

（4）借助判别式，運用一元二次方程必定有解的代數模型，解幾何存在性問題，最值問題．

2韋達定理

如果一元二次方程

的兩根為

那麼，就有

比較等式兩邊對應項的系數，得

①式與②式也可以運用求根公式得到．人們把公式①與②稱之為韋達定理，即根與系數的關系．

因此，給定一元二次方程

就一定有①與②式成立．反過來，如果有兩數

滿足①與②，那麼這兩數

必是一個一元二次方程

的根．利用這一基本知識常可以簡捷地處理問題．

利用根與系數的關系，我們可以不求方程

的根，而知其根的正、負性．

在

的條件下，我們有如下結論：

當

時，方程的兩根必一正一負．若

，則此方程的正根不小于負根的絕對值；若

，則此方程的正根小于負根的絕對值．

當

時，方程的兩根同正或同負．若

，則此方程的兩根均為正根；若

，則此方程的兩根均為負根．

⑸ 韋達定理主要應用于以下幾個方面：

①已知方程的一個根，求另一個根以及确定方程參數的值；

②已知方程，求關于方程的兩根的代數式的值；

③已知方程的兩根，求作方程；

④結合根的判别式，讨論根的符号特征；

⑤逆用構造一元二次方程輔助解題：當已知等式具有相同的結構時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達定理；

⑤ 利用韋達定理求出一元二次方程中待定系數後，一定要驗證方程的Δ．一些考試中，往往利用這一點設置陷阱．

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