11層的萊布尼茨三角形

小學五年級下期數學作業（王朝霞的卷子）有一道關于單位分數的填空題，我們來看一下。（分子為1，分母為大于1的自然數的分數稱為單位分數）

在算式1/2 1/4 1/6 1/8 1/10 1/12中，必須去掉（ ）和（ ）這兩個分數，才能使餘下的分數之和等于1。

這道題有兩種解法。

第一種是具有野蠻暴力色彩的窮舉法。

第二種是優雅的解法：用萊布尼茨三角形找答案。

先說第一種不動腦筋，隻使蠻力的暴力破解法。

題目要求在6個單位分數中選擇4個，使它們的和等于1。先看一下排列組合公式，再計算一下6選4等于6選2到底有多少種組合。（6選4和6選2相當于硬币的正面和反面）。

排列組合公式

由上圖的組合計算公式可知，6選2共有15種組合，計算量不算大。把這15種組合都計算一遍，答案就出來了。

現在說重點了，我們用萊布尼茨三角形優雅地解題。

先說一個觀點：過程比結果重要，方法比答案重要。所以我不會馬上告訴你答案，那不重要。重要的是解題的步驟、過程、思路、方法、能力的培養和背後的數學思想和底層邏輯。請大家慢慢享受過程，最後我們會水到渠成地揭曉答案。

如何構造萊布尼茨三角形？

萊布尼茨三角形簡介

萊布尼茨三角形是一種将單位分數以等腰三角形排列的一種排列方式，三角形二側最外層的數字是其行編号的倒數，其中間的數字是其左側數字和左上方數字差的絕對值。若用代數方式表示：

L(r, 1) = 1/r（r為行編号，最小編号為1）

L(r, c) = |L(r − 1, c − 1) − L(r, c − 1)|（c為列編号，不會大于r）

萊布尼茨三角形是數學家戈特弗裡德·萊布尼茨在1714年提出。萊布尼茨三角形的前幾列為：

見題圖。

萊布尼茨三角形的分母列在（OEIS中的數列A003506）中，其分子均為1。

在楊輝三角形中，每一項都是其左上方和右上方數字的和．而在萊布尼茨三角形中，每一項都是其左下方和右下方數字的和，例如在第五行中的1/30是第六行二個1/60的和。

楊輝三角形可以用二項式系數來計算，而萊布尼茨三角形也可以用二項式系數來計算：

計算公式

而且可以用楊輝三角形中的項次來計算萊布尼茨三角形：「每一行的各項是第一項除以楊輝三角形中對應項次的結果」。

萊布尼茨三角形可以用來作為歐德斯猜想的例子。

若将萊布尼茨三角形中第n行的所有分母相加，其結果會是

n乘以2的n減1次方

例如第3行的分母和為3 6 3 = 12 = 3 × 2²。

特别是的萊布尼茨三角形中的各項可以用以下的積分式表示：

積分式

構造法

觀察萊布尼茨三角形，可以看出構造的規律。

1.第一行有一個單位分數，第二行有2個單位分數，......第n行有n個單位分數。

2.等腰三角形在最外面的兩側是行号的倒數。“人”字由一撇一捺組成，按一撇的方向和從左到右的方向，三角形可劃分為第一列、第二列......

3.三角形的第一列是全體自然數的倒數，三角形有無窮行和無窮列。

4.三角形的第二列各項的分母依次比首項分母大4、6、8、10、12......

5.每一行的第一項和最後一項是相同的。

6.每一行都是對稱的。

7.第n行的第一項與第n 1行的第一項和第二項這三項構成了最小的三角形，它們之間的關系滿足：a=b c（a位于第n行，b和c位于第n 1行），類似位置關系的三項都滿足a=b c

8.第二列的單位分數之和為1，第三列的單位分數之和為1/2，第四列的單位分數之和為1/3，......

利用以上規律就可以構造出題圖的萊布尼茨三角形了。

萊布尼茨三角形和楊輝三角形（賈憲三角形）有密切關系。二項系數可以排成楊輝三角形，楊輝三角形中的某一項等于它肩上的兩項之和。而萊布尼茨三角形下層相鄰兩項之和等于它們頭上那項（上層）。

楊輝三角形和萊布尼茨三角形的關系

就得到一個由單位分數組成的萊布尼茨三角形。

開始解題。

觀察題圖的三角形，容易看出四個單位分數之和為1：1/3可以分解為1/4和1/12。再加上1/6和1/2就等于1，于是答案就是:去掉1/8和1/10這兩個分數。

觀察三角形，我們發現1/2-1/3=1/6，1/3-1/4=1/12，于是總結出一條規律：兩個分母為相鄰自然數的單位分數相減等于這兩個單位分數相乘。也就是說1/5-1/6=1/5 × 1/6=1/30

利用萊布尼茨三角形可以計算出某些由單位分數構成的無窮級數之和。

再看一道例題：

把1分解為10個分母不同且小于100的單位分數之和。

我的女兒Shirley的解答是：我可以把1分解為10個單位分數之和，但是有一個重複。即：

1=1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/512

這個答案很漂亮，它的思路是将一張白紙分為兩半，再不斷對分。唯一的遺憾是有一個重複。1/256分解為兩個單位分數之和，怎麼分解呢？用上面發現的規律，馬上就能分解：

1/256-1/257=？ 256×257=65792，所以1/256-1/257=1/65792

把Shirley的答案中的兩個1/512替換為1/257和1/65792就是更好的答案。

出題老師的答案是：

現在解答例題。如果沒有方法，硬湊答案很困難，但利用0的變形就很容易了。

巧妙利用0的變形解題

一加一減等于恢複原狀，即加上0或減去0。用這個方法，不僅可以找出符合題意的10個分數，找7個也行，找13個也可以。而且計算也很簡單，因為分母為相鄰自然數的埃及分數做減法等于做分數乘法。分數乘法比分數加減法容易多了。

這個題目用萊布尼茨三角形也能解答，請大家嘗試。

萊布尼茨簡介

萊布尼茨

戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨（-{Gottfried Wilhelm Leibniz}-，1646年7月1日－1716年11月14日），德意志哲學家、數學家，曆史上少見的通才，被譽為十七世紀的亞裡士多德。他本人是一名律師，經常往返于各大城鎮，他許多的公式都是在颠簸的馬車上完成的，他也自稱具有男爵的貴族身份。

萊布尼茨在數學史和哲學史上都占有重要地位。在數學上，他和牛頓先後獨立發明了微積分，而且他所使用的微積分的數學符号被更廣泛的使用，萊布尼茨所發明的符号被普遍認為更綜合，适用範圍更加廣泛。萊布尼茨還對二進制的發展做出了貢獻。

在哲學上，萊布尼茨的樂觀主義最為著名；他認為，“我們的宇宙，在某種意義上是上帝所創造的最好的一個”。他和笛卡爾、巴魯赫·斯賓諾莎被認為是十七世紀三位最偉大的理性主義哲學家。萊布尼茨在哲學方面的工作在預見了現代邏輯學和分析哲學誕生的同時，也顯然深受經院哲學傳統的影響，更多地應用第一性原理或先驗定義，而不是實驗證據來推導以得到結論。

萊布尼茨對物理學和技術的發展也做出了重大貢獻，并且提出了一些後來涉及廣泛——包括生物學、醫學、地質學、概率論、心理學、語言學和信息科學——的概念。萊布尼茨在政治學、法學、倫理學、神學、哲學、曆史學、語言學諸多方向都留下了著作。

萊布尼茨對如此繁多的學科方向的貢獻分散在各種學術期刊、成千上萬封信件、和未發表的手稿中，其中約四成為拉丁文、約三成為法文、約一成五為德文。截止至2010年，萊布尼茨的所有作品還沒有收集完全。2007年，戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨圖書館暨下薩克森州州立圖書館的萊布尼茨手稿藏品被收入聯合國教科文組織編寫的世界記憶項目。

由于萊布尼茨曾在漢諾威生活和工作了近四十年，并且在漢諾威去世，為了紀念他和他的學術成就，2006年7月1日，也就是萊布尼茨360周年誕辰之際，漢諾威大學正式改名為漢諾威萊布尼茨大學。

科學尚未普及，媒體還需努力。關系閱讀，再見。

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