能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的數的特征，也學習了一些整除的性質。系統地複習一下數的整除性質，并利用這些性質解答一些問題。

（1）如果甲數能被乙數整除，乙數能被丙數整除，那麼甲數能被丙數整除。

（2）如果兩個數都能被一個自然數整除，那麼這兩個數的和與差都能被這個自然數整除。

（3）如果一個數能分别被幾個兩兩互質的自然數整除，那麼這個數能被這幾個兩兩互質的自然數的乘積整除。

（4）如果一個質數能整除兩個自然數的乘積，那麼這個質數至少能整除這兩個自然數中的一個。

（5）幾個數相乘，如果其中一個因數能被某數整除，那麼乘積也能被這個數整除。

如果數A的末三位數字所表示的數與末三位數以前的數字所表示的數之差（大數減小數）能被7或11或13整除，那麼數A能被7或11或13整除。否則，數A就不能被7或11或13整除。

例判斷306371能否被7整除？能否被13整除？

解：因為371-306=65，65是13的倍數，不是7的倍數，所以306371能被13整除，不能被7整除。

對于任何一個自然數，從個位開始，每三位為一節将其分成若幹節，然後将每一節上的數連加，如果所得的和能被27（或37）整除，那麼這個數一定能被27（或37）整除；否則，這個數就不能被27（或37）整除。

判斷一個數能否被個位是9的數整除的方法：

為了叙述方便，将個位是9的數記為 k9（= 10k 9），其中k為自然數。

對于任意一個自然數，去掉這個數的個位數後，再加上個位數的（k 1）倍。連續進行這一變換。如果最終所得的結果等于k9，那麼這個數能被k9整除；否則，這個數就不能被k9整除。

一、基本概念和符号：

1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有餘數，那麼叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因為符号“∵”，所以的符号“∴”；

二、整除判斷方法：

能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。

能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。

能被7整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

②逐次去掉最後一位數字并減去末位數字的2倍後能被7整除。

能被11整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。

②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

③逐次去掉最後一位數字并減去末位數字後能被11整除。

能被13整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

②逐次去掉最後一位數字并減去末位數字的9倍後能被13整除。

三、整除的性質：

如果a、b能被c整除，那麼（a b）與（a-b）也能被c整除。

如果a能被b整除，c是整數，那麼a乘以c也能被b整除。

如果a能被b整除，b又能被c整除，那麼a也能被c整除。

如果a能被b、c整除，那麼a也能被b和c的最小公倍數整除。

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