第71回

滑雪平台，速度多少才安全

抛物線上，焦點準線為何物

話說第二天，悟空帶着師父和兩位師弟參觀最近落成的花果山公園。

距離公園還有一段路程的時候，"花果山公園"五個燙金的大字就映入眼簾，顯得十分氣派。四周用鐵欄杆圍成，師徒四人一見就知道欄杆的頂部造型為多條抛物線順次連接而成（如圖1），每條抛物線最高點距離地面2米，最低的兩端與地面的距離都是1．6米．八戒和沙僧的兩人的身高都是1．9米，他們站在欄杆邊時頭部恰好靠在同一條抛物線上，此時兩人的距離為恰好為2米．

"猴哥，公園的範圍好大啊！"八戒問道。"光四周這些欄杆就有多長呢？"

"這個剛完工不久我還不知道。"悟空說，"我把負責設計和施工的嚴主任叫來問一下。"

不會兒嚴主任風塵仆仆趕來，他說："孫總，我隻知道光栅欄上的抛物線裝飾就裝了3 000個，至于公園的周長嘛，你們不都是很能算嗎？你們自己算吧。"

"每個抛物線欄杆的寬是多少米？"八戒問。

"每個抛物線的信息你們都知道了，你們也自己算吧。"嚴主任顯然是在考他們。

"好，你不說我們自己算。"悟空說，"八戒，你算一下。"

"沒問題。"八戒說，"先建立如圖2的平面直角坐标系xOy。則點A、B到地面的距離都是1.6，所以頂點C到地面距離為2-1.6=0.4，所以頂點C的坐标為C（0，0.4）。

設我和沙師弟的頭部分别在抛物線上的點D、E處，則D、E到地面的距離都是1.9，所以點D、E的縱坐标都是1.9-1.6=0.3。

因為DE=2，D、E關于y軸對稱，所以D到y軸距離為1，所以點D的坐标為D(-1，0.3)。

設抛物線解析式為y=ax2 0.4，

把點D（-1，0.3）代入，得

0.3=a 0.4，a=-0.1.

所以抛物線為y=-0.1x2 0.4，

當y=0時，-0.1x2 0.4=0，解得x=±2，所以A（-2，0），B（2，0），

所以AB=2-（-2）=4。

所以公園的周長為4×3 000=12 000（米）。"

"大師兄，這公園挺大的啊！"沙僧感歎說，"光是沿着四周走一圈就得走12公裡路啊！"

"是的。按照孫總的指示，公園是依山而建的，裡面許多原始地形地貌都保留不動。"嚴主任說，"山頂上還建一個滑雪場呢。"

"還有滑雪場？"八戒興奮地說，"沙師弟，咱們上去練一下？"

"好啊，二師兄。"

"你倆别急，咱們一起乘坐纜車上去。"

師徒四人和嚴主任到了山頂，大家在一處高考落下的雪道上駐足觀望。嚴主任拿出一張圖紙介紹說："如圖3是大家眼前所見輪滑場地的截面示意圖，平台AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點B，與滑道y=k/x（x≥1）交于點A，且AB=1米．運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒後，從A處向右下飛向滑道，點M是下落路線的某位置．忽略空氣阻力，經過幾次實驗表明：M，A的豎直距離h（米）與飛出時間（秒）的平方成正比，且t=1時h=5；M，A的水平距離是vt米．"

"猴哥，如果我以每秒5米的速度離開平台點A落下，需要幾秒才能到達滑道呢？"聽完嚴主任介紹後八戒根據自己平時速跑的速度問道。

"要想知道答案就要先求你落下時經過的路線與滑道的交點M的坐标，再根據M、A的垂直距離與落下時間的關系求時間。"悟空說，"因此，需要先求你落下時經過的路線——抛物線與滑道雙曲線的解析式。"

"求這兩個解析式沒問題。"八戒說，"由題意，點A的坐标為（1，18），所以k=1×18=18，所以滑道的解析式為y=18/x(x>0)．

因為M，A的豎直距離h（米）與飛出時間（秒）的平方成正比，

所以設h=at2，

因為當t=1時h=5，所以5=a×1,a=5，

所以h=5t2.

當v=5時，A、M的水平距為vt=5t，豎直距離h=5t2，

所以點M的坐标為M（1 5t，18-5t2），

由x=1 5t，得t= (x-1)/5，代入y=18-5t2，得y=18-5×[(x-1)/5]2，

整理，得y=-(x-1)2/5 18．

聯立y=18/x和y=-(x-1)2/5 18，

消去y，得18/x=-(x-1)2/5 18，

去分母，得90=-x(x-1)2 90x，

整理，得x(x-1)2-90x 90=0，

即x(x-1)2-90(x-1)=0，

因式分解，得(x-1)[x(x-1)-90]=0，

所以x-1=0或x(x-1)-90=0，

由x-1=0，得x=1；

由x(x-1)-90=0，得x2-x-90=0，

解得x=10或x=-9，

因為x>0，所以x=1或x=10，

當x=10時，y=1.8，

所以抛物線與雙曲線除點A（1，0）外，另一個交點坐标為（10，1.8）。

所以M、A的垂直距離h=18-1.8=16.2，

所以5t2=16.2，t2=3.24，t=1.8.

所以如果以每秒5米的速度離開平台點A落下，需要1.8秒才能到達滑道。"

"平台跳躍滑雪是許多人追求的刺激運動。"師父問道，"悟空，你有沒有注意到如果兩人争先恐後從平台上同時滑下，為了安全起見，必須規定兩人的速度不能太接近。否則很容易發生兩人碰撞導緻傷殘？"

"唐長老說的太對了。"嚴主任說，"這個問題我雖然注意到了，但兩人的速度應該相差多少才安全正想請教孫總呢？"

"悟空，由于滑雪的速度太快，為了保證安全，當速度較慢的人落到滑道上時，速度較快的人應在另一個人的前面水平距離至少4.5米。"師父對沙僧說，"比如說八戒離開平台的速度是每秒5米，悟淨你如果想跟他一起跳，你的速度最少應該是多少呢？"

"這個簡單。"沙僧說，"二師兄以每秒5米的速度跳下，1.8秒後落地，此時他飛出的水平距離是5×1.8=9（米）。設我的速度為每秒m米，

當t=1.8時，飛出的水平距離為vt=m×1.8=1.8m(米)，依題意，得

1.8m≥9 4.5，解得m≥7.5（米/秒）．

所以為了确保安全，我的速度至少應該為每秒7.5米。"

解決完滑雪道問題後，五人爬到了最高處。嚴主任指着一個剛安裝好的探照燈說："這個探照燈的功率特别大，可以照到公園的每個角落，晚上一開，照向哪裡哪裡亮。"

孫悟空走進一看，這個探照燈的軸截面是如圖3的抛物線y= x2/4 1。

"抛物面（由抛物線沿對稱軸旋轉360°形成的曲面）有一個很神奇的性質。"師父說，"這個性質就是：從抛物面的焦點發出的光線經過抛物面的反射後，光線都沿着平行于對稱軸的直線射出，把散光線變成了平行光線，使光線照得更遠、更亮。所以隻要把發光體安裝在焦點處，就可以得到一束平行光。探照燈就是根據這個原理構造出來的。"

"師父說的這個原理事實上是來自抛物線一個神秘的性質。"悟空補充說，"這個性質是：對于任何一條抛物線，總存在一條與對稱軸垂直的直線l，使得抛物線上任何一點P到該直線的距離與到焦點F的距離相等，這條直線l叫做抛物線的準線。"

"抛物線的焦點在什麼位置呢？"八戒問，"還有，如何求準線方程和焦點坐标呢？"

"根據抛物線的對稱性，焦點一定是在對稱軸上。對于任何求抛物線的準線方程和焦點坐标？"悟空說，"我們以y=x2/4 1這條抛物線為例來探索一下吧。

首先設準線l的方程為y=m，焦點F坐标為F（0，n），再設P（t，t2/4 1）是抛物線上任意一個點，根據準線和焦點關系列出方程。八戒，你來試一下吧？"

"P到直線l:y=m的距離是| t2/4 1-m|，

P到點F的距離是√[t2 (t2/4 1-n)2]。"

八戒說，"所以| t2/4 1-m|=√[t2 (t2/4 1-n)2]。

兩邊平方，得：(t2/4 1-m)2=t2 (t2/4 1-n)2.

接下來怎麼辦呢？"

"二師兄，把這個方程整理、化簡一下吧。"沙僧說，"但這也太繁雜了。"

"直接化簡的确有點複雜。"悟空說，"采用換元法。設t2/4 1=s，則t2=4s-4，方程就可以化為：(s-m)2=4s-4 (s-n)2.

八戒，你再來試試。"

"化簡這個就簡單多了。"八戒說，"去括号，得：

s2-2ms m2=4s-4 s2-2ns n2，

移項、合并同類項，得：

(2n-2m-4)s (m2-n2 4)=0，

因為m、n的值與t的值無關，而s=t2/4 1，所以m、n的值與s無關，

所以2n-2m-4=0，且m2-n2 4=0，

即m-n=-2且(m n)(m-n)=-4，

所以(m n)×(-2)=-4，m n=2，

所以m=0，n=2.

所以準線方程為y=0，焦點F的坐标為(0，2)。"

欲知後事如何？請看下回分解。

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