前面我用7篇文章介紹了《幾何原本》第1卷、第2卷的全部内容，從本篇開始，我将向大家講解《幾何原本》第3卷“與圓有關的平面幾何”中的内容。

第3卷共包含11條定義以及37個命題，這些命題我們在初中數學教材中都學過。唯一的區别在于，初中數學教材中，都是将這些命題作為結論直接使用，但是沒有給出證明過程。

本篇，我們學習第3卷中的11條定義以及6個命題。

定義1：相等的圓，其直徑相等，或圓周到圓心的距離相等（即半徑相等）。

定義2：一條直線與圓相切，就是它與圓相遇，而這條直線延長後不再與圓相交。

定義3：兩圓相切，就是彼此相遇，而不相交。

定義4：過圓心作圓内弦的垂線，垂線相等，則稱這些弦有相等的弦心距。

定義5：當垂線較長時，稱這弦有較大的弦心距。

定義6：弓形是由一條弦和一段弧組成的。

定義7：弓形的角是由一條直線和一段圓弧所夾的角。

定義8：弓形的角是連接弧上任意一點和這段圓弧的底的兩端的兩條直線所夾的角。

定義9：弓形角也叫作含于這段弧上的弓形角。

定義10：由頂點在圓心的角的兩邊和這兩邊所截的一段圓弧共同圍成的圖形叫作扇形。

定義11：相似弓形是那些含相等角的弓形，或者他們上的角是彼此相等的。

已知圓ABC。

目标：隻能使用直尺和圓規，作出圓ABC的圓心。

證明：

1、在圓上作任意直線AB。

2、作AB的二等分點D。（第1卷 命題9）

3、過點D作AB的垂線與圓相交于C、E。

4、作CE的二等分點F。（第1卷 命題9）

分析：這時點F可能是圓心，如果點F不是圓心，那麼圓心肯定不在線段CE上。

5、假設點F不是圓心，圓心為點G,點G為線段CE以外任意一點。

6、連接GA、GD、GB。

7、于是GA=GB，GD=GD，AD=DB，因此角GDA=角GDB。（第1卷 命題8）

8、于是角GDB是直角。（第1卷 定義10）

9、又角FDB是直角，于是角FDB=角GDB，即較大角等于較小角，這是不可能的。

10、于是假設不成立，因此圓心在CE上，又圓心到圓上各點距離相等，因此點F為圓心。

證明完畢。

說明：這個命題歐幾裡得再次使用了假設法，當命題不好直接證明時，假設法就是一個很好的證明方式。在《幾何原本》中，很多命題的證明都用到了假設法。假設法的思路是，先假設與命題相反的結論，然後推導出矛盾的結論，從而假設不成立，原命題成立。

這裡再多說一句，引發第一次數學危機的無理數，它的發現過程也是使用了假設法。

已知圓ABC以及圓上任意兩點A、B，連接AB。

目标：證明線段AB在圓内。

證明：

1、假設線段AB在圓外，E為線段AB上一點，如圖所示。

2、設圓ABC的圓心為D。（第3卷 命題1）

3、連接DA、DB、DE，DE與圓ABC相交于點F。

4、因為DA=DB，所以角DAE=角DBE。（第1卷 命題5）

5、在三角形DAE中，線段AEB是線段AE的延長線，所以角DEB>角DAE。（第1卷 命題16）

6、于是角DEB>角DBE，又在三角形DEB中，大角對大邊，所以DB>DE。（第1卷 命題19）

7、又因為F是圓上一點，所以DF=DB，于是DF>DE，即較小邊大于較大邊，這是不可能的。

8、所以假設不成立，線段AB不落在圓外。

9、同理，可證明線段AB也不落在圓周上，因此它落在圓内。

證明完畢。

說明：本命題使用了假設法進行證明。

這裡再多說一句，命題1為什麼非要找到圓的圓心？我無法準确畫出來圓心其實也不妨礙命題2的證明，為什麼要多此一舉呢？其實這和歐幾裡得追求嚴謹有關，歐幾裡得的原則是，我隻有能夠畫出來這個圖形，我才能去證明它，這也是我們在《幾何原本》中能夠看到較多求證作圖的命題的原因。比如第1卷中的命題47證明了勾股定理，證明過程需要用到圖形正方形，于是歐幾裡得在命題46中證明了能夠根據已知線段作出一個正方形出來。

已知圓ABC，直線CD過圓心且二等分不過圓心的直線AB于點F。

目标：證明CD垂直于AB。

證明：

1、作圓ABC的圓心，設圓心為E。（第3卷 命題1）

2、連接EA、EB。

3、因為EA=EB，EF=EF，FA=FB，所以角AFE=角BFE。（第1卷 命題8）

4、所以角AFE=角BFE=直角。（第1卷 定義10）

5、所以CD垂直于AB。

接下來假設AB垂直于CD于點F。

目标：證明CD二等分AB，即AF=FB。

6、因為EA=EB，所以角EAF=角EBF。（第1卷 命題5）

7、又直角AFE=直角BFE，EF=EF，所以AF=FB。（第1卷 命題26）

證明完畢。

已知圓ABCD，其中有兩條不過圓心的直線AC和BD相交于點E。

目标：AC、BD不互相平分。

證明：

1、假設AC、BD相互平分，即AE=EC，BE=ED。

2、作圓ABCD的圓心F，連接FE。（第3卷 命題1）

3、因為過圓心的直線FE二等分另一條沒過圓心的直線AC，則它們相互垂直，所以角FEA是直角。（第3卷 命題3）

4、同理，角FBE是直角。

5、于是角FEA=角FBE，即較小角等于較大角，這是不可能的。

6、因此假設不成立，即AC、BD不互相平分。

證明完畢。

說明：本命題使用了假設法進行證明。

已知圓ABC和CDG相交，交點是B、C。

目标：證明圓ABC、CDG圓心不同。

證明：

1、假設兩圓圓心相同，設點E為公共圓心。

2、假設EFG是穿過兩圓的任意直線，連接EC。

3、于是EC=EF，EC=EG，所以EF=EG，即小的等于大的，這是不可能的。

4、所以假設不成立，因此點E不是圓ABC和圓CDG的共同圓心。

證明完畢。

說明：本命題使用了假設法進行證明。

已知圓ABC、CDE相切，切點為C。

目标：證明圓ABC、CDE圓心不同。

證明：

1、假設兩圓圓心相同，設點F為公共圓心。

2、假設FEB是穿過兩圓的任意直線，連接FC。

3、因為F是公共圓心，于是FC=FE，FC=FB，所以FE=FB，即小的等于大的，這是不可能的。

4、因此假設不成立，所以點F不是圓ABC、CDE的圓心。

證明完畢。

說明：本命題使用了假設法進行證明。

好了，這一講就到這了。

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