全等三角形問題最主要的是構造全等三角形，構造二條邊之間的相等，構造二個角之間的相等。

三角形輔助線做法

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可将圖對折看，對稱以後關系現。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

1.等腰三角形“三線合一”法：

遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題

2.倍長中線：

倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形

3.角平分線在三種添輔助線

4.垂直平分線聯結線段兩端

5.用“截長法”或“補短法”：

遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長。

6.圖形補全法：

有一個角為60度或120度的把該角添線後構成等邊三角形

7.角度數為30、60度的作垂線法：

遇到三角形中的一個角為30度或60度，可以從角一邊上一點向角的另一邊作垂線，目的是構成30-60-90的特殊直角三角形，然後計算邊的長度與角的度數，這樣可以得到在數值上相等的二條邊或二個角。從而為證明全等三角形創造邊、角之間的相等條件。

8.計算數值法：

遇到等腰直角三角形，正方形時，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常計算邊的長度與角的度數，這樣可以得到在數值上相等的二條邊或二個角，從而為證明全等三角形創造邊、角之間的相等條件。

常見輔助線的作法有以下幾種：

最主要的是構造全等三角形，構造二條邊之間的相等，二個角之間的相等。遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”法構造全等三角形．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉” 法構造全等三角形．

遇到角平分線在三種添輔助線的方法，

（1）可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理．

（2）可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。

（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位置上截取二點，然後從這兩點再向角平分線上的某點作邊線，構造一對全等三角形。

過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”截長法與補短法，具體做法是：在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是将某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，适合于證明線段的和、差、倍、分等類的題

目．

已知某線段的垂直平分線，那麼可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線，作出一對全等三角形。

特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。

例1、（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值範圍是_________.

例2、如圖，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點，試比較BE CF與EF的大小.

例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分∠BAE.

應用：

1、（崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分别是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關系及數量關系．

（1）如圖① 當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是 ，線段AM與DE的數量關系是 ；

（2）将圖①中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0<<90)後，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由．

1、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC

2、如圖，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD過點E，求證：AB＝AD BC。

3、如圖，已知在△ABC内，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分線。求證：BQ AQ=AB BP

4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分∠ABC，

求證：∠A ∠C=180°

5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點，求證;AB-AC＞PB-PC

應用：

例1 AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點，△ABC周長記為PB，△EBC周長記為.求證PB＞PA.

例2 如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB AC>AD AE.

1、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD

2、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的長.

應用：

1、如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；

（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE DF=EF，求∠EAF的度數.

例2 D為等腰斜邊AB的中點，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于點E,F。

（1）當繞點D轉動時，求證DE=DF。

（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。

例3 如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D為頂點做一個60°角，使其兩邊分别交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則△AMN的周長為 ；

應用：

1、已知四邊形中ABCD，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞點B旋轉，它的兩邊分别交AD，DC（或它們的延長線）于E，F．

當∠MBN繞點旋轉到AE=CF時（如圖1），易證AE CF=EF．

當∠MBN繞點旋轉到AE≠CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

3、在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分别有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究：當M、N分别在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關系．

（I）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是 ；此時Q/L= ；

（II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；

（III） 如圖3，當M、N分别在邊AB、CA的延長線上時，

若AN=x，則Q= （用x、L表示）．

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