空間的距離

中學教書時間長了，一拿到解析幾何，似乎隻能想起距離和角度，角度和距離……

今天先聊距離吧。

1、空間兩個點的距離

無需多說，簡單易懂。設點

，則

2、空間點到直線的距離

看起來很簡單，其實特别特别麻煩，真的，不騙你。你要是不怕麻煩，我就舉個例子一起算算。要是怕麻煩，請運動手指劃過這一部分内容。

例、求點

到直線

的距離。

解法一、直接過點M作直線的垂線，垂足為P，則PM就是點M到直線的距離

面

的法向量為

面

的法向量為

所以，直線的方向向量為(3,3,2)。（此處略去草稿若幹行）

所以，過點M且垂直于直線的面

的法向量為(3,3,2)

設平面

的方程為

代入點M(1,-1,0)得D=0

所以平面

的方程為

則直線與面

的交點P為

解得

（此處亦省略草稿若幹行）

所以，點M到直線的距離為

解法二：點M到直線的距離=點M到直線上點的距離的最小值

由

得

設直線上的點為

則

當

時，

這個方法還算比較好啦，至少不會讓我算得發瘋。

解法三：設直線的方向向量為

，如果P為直線上的點，則距離

取直線

上的點P(0,0,-1)，已知M(1,-1,0)則

由解法一知直線的方向向量為

則

此法充分利用了向量，屬于比較高檔的解法了吧。

3、點到面的距離

前面已經寫過一次推文，代公式即可

4、兩平行線間的距離

很簡單啦，直接化歸成點到直線的距離即可。呵呵呵

5、異面直線間的距離

異面直線

和

間的距離，我們可以這樣求。

過

上任一點作

的平行線

，

和

确定一個平面α

則異面直線

和

間的距離

=直線

和平面α間的距離

=直線

上任一點和平面α間的距離

例、已知兩直線

，求異面直線

和

間的距離。

解：由已知直線

的方向向量

直線

的方向向量

所以過

且與

平行的平面α的法向量為

取直線

上的點（0，0，-1），

上的點（1，1，1）則

平面α的方程為z-1=0

異面直線

和

間的距離

說起點到平面的距離，我想起高中學過的一個公式。

若點P為平面外一點，點Q為平面内一點，則點P到平面的距離

那麼，我們也可以利用這個公式來改進本題的解法。

解法二：由已知直線

的方向向量

直線

的方向向量

所以過

且與

平行的平面α的法向量為

取直線

上的點P（0，0，-1），

上的點Q（1，1，1）則

異面直線

和

間的距離

表面上看隻是省略了一個求面的方程的步驟，實際上是完全不同的思路。

練習：求異面直線

間的距離。

答案：

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