導數中的圖像及性質講解-tft每日頭條

導數中的圖像及性質講解

生活更新时间:2025-02-03 16:38:02

本篇文章是高等數學中的基礎性文章，我們用圖形來形象化演示：函數，導數及其反導數（不定積分），拐點，極大值，極小值之間的内在關系

我們知道怎麼定義一個不定積分：

如下圖，如果f(t)在(a,b)上是連續可積的，在常數a和f(t)保持不變的情況下，我們就可以通過以下方法在(a,b)上得到一個全新的函數，這也是很常見的

導數中的圖像及性質講解（形象化演示導數）1

我們稱它為特殊情況下的不定積分，因為它的上限是一個未知數，我們在這裡引用這種形式，是有好處的，繼續往下看

如果f(x)是在此區間下是一個正值，f (x)就是一個有關面積的函數。這也是牛頓-萊布尼茲公式的本質原理，也是微積分入門的必要基礎

導數中的圖像及性質講解（形象化演示導數）2

此處的F(x)隻依賴于下限常數a，因為選擇不同的a值就會得到不同的函數F(x)，但是不同函數F(x)之間的差與x是沒有關系的，它們隻相差一個常數

如果f(x)在某個區間内為正，則F(x)（F(x)為面積）會不斷增加，因為F(x)的導數就是f(x)，即F(x)所表示的面積和F(x)面積下的導數f(x)一一對應，如下圖所示

導數中的圖像及性質講解（形象化演示導數）3

如果f(x)在某個區間内為負，則F(x)（F(x)為面積）會不斷減小，同理：F(x)的導數正好與f(x)的函數圖形相對應

導數中的圖像及性質講解（形象化演示導數）4

假如(x)= 0，則x就是F的臨界點。這個臨界點就是書本上所描述的極大值和極小值

如下圖所示：f(x)=0時，與其相對應的F(x)取極小值，如果F(x)的二階導數為0，該點就是F(x)的拐點。拐點就是凹凸的分界點，即f(x)的斜率等于0，下面的圖形非常明顯的表達了這一觀點

導數中的圖像及性質講解（形象化演示導數）5

如果f(x)的圖形是一個抛物線形狀，那麼與它相對應的反導數F(x)圖形就是一個三次函數曲線

而拐點正好是f(x)的極小值，如下圖f(x)導數等于0處的坐标值就是F(x)的拐點

導數中的圖像及性質講解（形象化演示導數）6

簡單明了，淺顯易懂，希望對你有用

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