在上篇文章，我通過《幾何原本》第五卷中的命題1、命題2、命題5、命題6，介紹了《幾何原本》是如何證明乘法分配率的。這一講我繼續帶着大家學習《幾何原本》第五卷中的命題3是如何證明乘法結合律的，乘法結合律用代數式子可表示為:m*(nα)=m*n(α)。
命題3:如果第一量和第三量分别是第二量和第四量的同倍量，如果再有同倍數的第一量及第三量，則同倍後的這兩個量分别是第二量及第四量的同倍量。已知第一量A和第三量C分别是第二量B和第四量D的同倍量，分别取定A和C的同倍量EF和GH。
目标:證明EF和GH分别是B和D的同倍量。
證明:
1、因為EF和GH分别是A和C的同倍量，所以EF裡有多少個量等于 A、GH裡就有相等數量的量等于C。
2、将EF分成EK、KF，且都等于A；将 GH分成GL、LH，且都等于C、所以量EK、KF的個數等于量GL、LH的個數。
3、因為A和C分别是B和D的同倍量，且EK等于A，GL等于C，所以EK和GL分别是B和D的同倍量。
4、同理，KF和LH分别是B和D的同信量。
5、因為第一量EK和第三量GL分别是第二量B和第四量D的同倍量，且第五量KF和第六量LH分别是第二量B和第四量D的同倍量，所以第一量與第五量的和EF，第三量與第六量的和GH，也分别是第二量B和第四量D的同倍量。(第5卷 命題2)
6、綜上，如果第一量和第三量分别是第二量和第四量的同倍量，如果再有同倍數的第一量及第三量，則同倍後的這兩個量分别是第二量及第四量的同倍量。
證明完畢。
說明:該命題用代數式表示，相當于:
m*(nα)=m*n(α)，m*(nβ)=m*n(β)。
（假設B=α、D=β，A=n*B，EF=m*A，C=n*D，GH=m*C，則有EF=m*A=m*(nα)，GH=mC=m*(nβ)。）
好了，這一講就到這了。
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