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二階行列式推導過程

生活更新时间:2024-07-22 17:14:19

前面介紹了矩陣乘法在空間中的幾何意義：新向量在i j k壓縮和拉伸後的空間中以新的向量形式呈現出來，這就是矩陣乘法要表達的意思。

如圖對于拉伸和壓縮後的區域面積将如何變幻呢，這就是本篇行列式要解決的問題

二階行列式推導過程（二階行列式在二維空間中的幾何原理）1

如圖：i被放大了3倍，j倍被放大了2倍，圖形面積就是2X3=6，矩陣表示的是縮放倍數

二階行列式推導過程（二階行列式在二維空間中的幾何原理）2

圖中很明顯，經過 i j變化後的區域就是單位向量圍城區域的6倍

二階行列式推導過程（二階行列式在二維空間中的幾何原理）3

如果我們将區域向右擠壓，你可以想象下正方向擠壓成平行四邊形的情況，面積保持不變。唯一變化的是單位向量（也叫基向量）如圖

二階行列式推導過程（二階行列式在二維空間中的幾何原理）4

網格線保持平行且等距，所以你隻要知道單位正方向變化的比列，就知道整個空間區域的變換比列

二階行列式推導過程（二階行列式在二維空間中的幾何原理）5

所以行列式的意義就是如圖：面積是單位正方向的6倍

二階行列式推導過程（二階行列式在二維空間中的幾何原理）6

面積是單位正方形的3倍

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當矩陣代表的行列式等于0時，意味着矩陣表示的變換将空間壓縮到更小的維度上，這一點很重要

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當行列式為負數時又表示什麼呢？我們來看一個連續變換的圖形：

當i 漸漸靠近j時空間被壓縮

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當i 和j時重合時，行列式等于0，空間變換維度最低

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當i超過j時行列式很自然等于負數

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所以行列式為負數時，表示i j翻轉了空間的取向，如圖

開始時的方向

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旋轉後的方向

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如圖矩陣行列式是-5，表示将單位正方形拉伸了5倍并旋轉了一個方向，

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行列式計算：a代表在x軸上的伸縮倍數，d代表在y軸上的伸縮倍數

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如果i不變，j發生旋轉，則形成的平行四邊形面積不變

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當bc不為0時，bc就會告訴你平行四邊形在對角線上拉伸了多少，如圖是個非常有趣的模型。

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以上就是行列式在二維空間中的模型和計算原理

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