自從魔方發布以來,幾乎有5億人嘲笑它,他們以為自己可以破解它令人困惑的秘密,結果卻被它令人發狂的秘密所阻礙。現在,是時候用一些深奧的數學來一勞永逸地解開這個謎題了。立方體的内部是由塑料制成的,但它真正的内部隻有數字。就讓我們一探究竟吧。
拆積木
從一些基礎知識開始,一個3x3x3的魔方有六個面,每個面都有不同的顔色。每個面的中心都連接到将立方體固定在一起的核心支架上,所以它們不會移動,隻是原地旋轉。因此,同樣的顔色總是以相反的顔色結束;在一個标準的立方體上,白色與黃色相對,紅色與橙色相對,藍色與綠色相對。
打開一個魔方,你會看到它是由三種積木組成的。首先,是中央支架,連接着每個面的中心。然後是立方體——1x1x1小塊的昵稱。角落的小方塊有三個彩色的邊,邊的小方塊有兩個。魔方有一個核心,8個棱角和12個棱角。
這些數字的直接計算方法就是你可以打亂魔方的方法總數:43,252,003,274,489,856,000。用更數學的方法來寫,這個數字是(388!)(21212!)/12。這是如何結合在一起的。
第一個項3的8次方,表示八角立方體的每一個旋轉方向。一個角落的小隔間可以以三種不同的方式旋轉進入它的插槽。每8個角落的立方體都是3的倍數,所以它們乘以3的8次方。
接下來是每個角落的小隔間的位置。有八個角槽,所以第一個角格子有八個選擇。第二個角落的格子剩下7個選項,第二個左邊有6個選項,以此類推,直到最後一個角落的格子,它必須進入最後一個角落的格子。計算結果是8*7*6*5*4*3*2*1,也就是8!或“8的階乘”。
因此,第一塊,(388!),計算每個角落的小方塊可以放入立方體的每一種方式。38是他們的方向,而8!是他們的位置。
下一個塊(21212!)也是同樣的想法,現在是邊緣。邊緣隻有兩個方向,所以12個邊總共有212個方向的混合。然後有12個地點,12個!就是到達這些地點的路徑數。
(388!)(21212!)/12剩下的就是除以12。這與魔方有關,人們經常能感覺到,但并不總是能理解。這裡有一個思維實驗(也許你真的做過!)來說明:
假設你打開了一個魔方,取出每個魔方,然後把所有的魔方放回随機的槽中(邊角的魔方隻能放在邊角上,邊角的魔方隻能放在邊角上)。你得到了一個看起來像普通的打亂方塊,到目前為止,我們已經計算了你能做到的每一種方法,(388!)(21212!)那麼,在不把它拆開的情況下,是否總有可能解出這個雜亂的立方體呢?
答案是否定的。
這是一個陷阱,許多新手都被困住了。如果你在練習,你想打亂一個已經解決的立方體,你必須保持立方體完整,手動打亂它。如果你把它拆開,然後随機地重新組合,實際上隻有1 / 12的幾率它是可解的。
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