我們在中學時都學習過用“度數”來刻畫角的大小，比如用360°表示周角的大小，180°表示平角的大小，90°表示直角的大小等等。

而到了高中，我們把角的單位由“度”換成了“弧度”，這時前面提到的角度都有了如下轉化：

實際上，對于任意度數n°的角，轉化為ɑ弧度可以通過如下公式：

這對每一個學過高中數學的人都不陌生，可是同學們往往隻記住了這種轉化的方法，卻并不明白為什麼非要将180度換成一個無理數，或者我們可以更直白地發出靈魂拷問：初中使用角度制對角的大小進行刻畫似乎已經十分完美，為什麼還要引入和學習弧度制，其意義何在？

今天大小吳就來和大家探讨一下這個問題。

1.角度制的起源

這一切要從角度制與弧度制的曆史說起。

在富饒的美索不達米亞平原上，公元前的古巴比倫人就開創性地将圓周進行360等分，并取其中一份稱1“度”，記為1°，度下面又設有“分”和“秒”的單位，60分為1度，60秒為1分，這即為最早的角度制。

但是由于年代過于久遠，我們已經無從得知古巴比倫人何時靈光一現想出這種度量方式，也不清楚他們為什麼要将圓周等分成360等份，後世對其的解釋主要有以下幾種：

• 古巴比倫人熟悉用60進制進行計算。

• 360是一個接近一年中天數的較為整齊的數據。

• 360能被8整除，因此在以360度為周角大小的情況下，平角、直角、以及半個直角這些典型的角的度數都是整數。

• 360有多個因數，這使得各種正多邊形的内角大小也恰為整數度數（正n邊形的内角大小為[180°（n-2）]/n）。

也許正是因為上述多種原因，聰明的古巴比倫人最終選擇了360這個神奇的數字作為角度制的肇始，無疑，這是一種完美的制度，它深刻影響了後世的數學，并在天文、航海、測繪等諸多領域有着廣泛的應用，直至每一個現代社會的學生都要對其進行學習。

2.弧度的雛形

古巴比倫人對圓周的劃分，在一定程度上影響了後來的古希臘天文學。在古希臘時期“地心說”十分流行，人們認為太陽繞着地球做圓周運動，因此産生了許多圓形軌道的計算問題，進一步地，人們就想知道已知弧長如何求對應弦長這類三角學問題，為此古希臘人希帕科斯（公元前190-120）首次繪制了弦表，又如托勒密的著作《大成》中也有類似弦表，這使得弦表的思想為人所熟知，這也即為三角學的開端。

“地心說”的代表人物——托勒密

什麼是弦表呢？制作弦表的目的是在一個半徑固定的圓中，求給定弧所對的弦長。希帕科斯對各種不同的弧長l，列出了對應的弦長chord(l)（以單位圓為例，弦長已轉化為十進制數）：

實際的弦表還有很多其他數據，利用這個表格就可以解決一系列天文學問題。

古希臘人通過弦表也發現了弧長與弦長的一一對應關系，這即是最早的三角函數。隻不過古希臘人還沒有形成“函數”的概念，他們在不知不覺中使用弧長作為三角函數的自變量，并且為了單位的統一，他們沿用了古巴比倫人的60進制，将弧長的度量也用60進制表示。

實際上，這也就是弧度的雛形，“弧長與弦長的對應關系”可以進一步轉化為“角的大小與弦長的對應關系”，由于用弧長作為自變量時需要給定圓的半徑，而用弧度（角的大小）作為自變量則無需給定半徑，避免了換算的繁複，這就不難理解後人發明并引入弧度制這件事是十分自然與必要的。

3.半弦表

公元6世紀，印度數學家阿耶波多沿用了希帕科斯弦表的思想，進一步制作了半弦表。在其中他把弦所對的弧的一半與半弦對應。觀察下圖，你是否覺得有些熟悉？沒錯，我們知道在單位圓中，這裡的半弦也即為正弦。因此印度數學家發明的半弦表非常接近現代數學中正弦的定義。随後幾百年，文明的交流使得半弦表在阿拉伯、印度、中國等地區廣為流傳，同時還首次出現了餘弦、正切等三角學概念。

但是在這一段時期，各種三角函數表仍然是給定半徑情況下（半）弧長與（半）弦長的對應關系，且在形式上大都以表格為主，角的範圍也僅僅局限在[0°，180°]内，沒有真正形成抽象的“三角函數”。

4.弧度制的出現與确立

時間來到了14世紀，随着文藝複興在歐洲興起，數學與三角學也重新蓬勃發展起來。

哥白尼的學生，印度數學家利提克斯在學習古希臘數學時發現在給定半徑的圓中角和弧長實際上是可以一一對應的。因此他突破性地改變了正弦的定義，在他之前，正弦的定義是：

利提克斯将其改成了：

這真是一個非常偉大的突破！因為這樣一來三角學中的各種（三角比）定義就不再依賴于圓而可以僅在一個直角三角形中進行讨論了。也正是因為如此，角成為了三角函數的自變量，之後弧度制便逐漸登上了曆史舞台。

時間又過去了好幾百年，直到那個被蘋果砸中的神一樣男人的出現，微積分終于成為了數學的主流，進一步地，人們開始研究包括三角函數在内的各種抽象的函數，而且人們早已習慣用10進制，這當然也包括對弦長的計算。

然而這樣就會造成一個問題：10進制下的弦長與60進制下的角并不統一，人們在查閱三角函數表時感到無比的繁瑣。在這種情況下，角度制終于不再适宜人們對于數學研究的需要。

于是乎，人們開始考慮使用新的單位制來度量角的大小，弧度制終于應運而生！弧度大約是在1714年由英國數學家羅傑·柯特斯提出的，這位偉大的數學家深刻地意識到這種度量角度的方式的優越性與必要性。

5.弧度制與數學公式的相容性

在弧度制下，許多微分、積分公式和級數公式在形式上都得到了簡化，這也是為什麼後世的數學家更青睐弧度制的原因。

以數學分析中最為重要和基本的極限為例：

這個公式正是基于弧度制才顯得如此漂亮簡潔。若這裡的角x是在角度制下進行讨論的話，由于角度制下數據是弧度制下數據的180/Π倍，所以這時重要極限就變成了：

這樣公式就顯得非常不美觀。

再如正弦函數的導數公式：

這種簡潔的形式仍然是在弧度制下才能夠出現，在角度制下就會變成：

你會選擇學習哪種公式呢？毫無疑問是前者。

還有包括最為經典的“上帝公式”

它将數學中最為重要的常數以及兩個最為重要的實數完美結合在一起，而這麼優美的形式必須在弧度制下才能夠産生。

現在你知道為什麼我們要學習弧度制了嗎？

參考文獻[1]江灼豪,何小亞.弧度制發展的曆史溯源[J].數學通報,2016,55(07):14-17.[2]李忠.為什麼要使用弧度制[J].數學通報,2009,48(11):1-3 7.

轉載内容僅代表作者觀點

不代表中科院物理所立場

來源：大小吳的數學課堂

編輯：樂子超人

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