非線性是自然界複雜性的典型性質之一，那麼你對非線性了解多少呢？

什麼是非線性

非線性(non-linear)，即 變量之間的數學關系，不是直線而是曲線、曲面、或不确定的屬性，叫非線性。非線性是自然界複雜性的典型性質之一；與線性相比，非線性更接近客觀事物性質本身，是量化研究認識複雜知識的重要方法之一；凡是能用非線性描述的關系，通稱非線性關系。

狹義的非線性是指不按比例、不成直線的數量關系，無法用線性形式表現的數量關系，如曲線、曲面等。而廣義上看，是自變量以特殊的形式變化而産生的不同于傳統的映射關系，如叠代關系的函數，上一次演算的映射為下一次演算的自變量，顯然這是無法用通常的線性函數描繪和形容的。很顯然，自然界事物的變化規律不是像簡單的函數圖像，他們當中存在着并非一一對應的關系。如果說線性關系是互不相幹的獨立關系，那麼非線性則是體現相互作用的關系，正是這種相互作用，使得整體不再是簡單地全部等于部分之和，而可能出現不同于"線性疊加"的增益或虧損。

線性與非線性的區别

非線性是相對于線性而言的，是對線性的否定，線性是非線性的特例，所以要弄清非線性的概念，明确什麼是非線性，首先必須明确什麼是線性，其次對非線性的界定必須從數學表述和物理意義兩個方面闡述，才能較完整地理解非線性的概念。

線性

對線性的界定，一般是從相互關聯的兩個角度來進行的：其一，疊加原理成立：“如果ψl，ψ2是方程的兩個解，那麼aψl bψ2也是它的一個解，換言之，兩個态的疊加仍然是一個态。”疊加原理成立意味着所考察系統的子系統間沒有非線性相互作用。其二，物理變量間的函數關系是直線，變量間的變化率是恒量，這意味着函數的斜率在其定義域内處處存在且相等，變量間的比例關系在變量的整個定義域内是對稱的。

非線性

在明确了線性的含義後，相應地非線性概念就易于界定：

其一，“定義非線性算符N(φ)為對一些a、b或φ、ψ不滿足L(aφ bψ)=aL(φ) bL(ψ)的算符”，即疊加原理不成立，這意味着φ與ψ間存在着耦合，對(aφ bψ)的操作，等于分别對φ和ψ操作外，再加上對φ與ψ的交叉項(耦合項)的操作，或者φ、ψ是不連續(有突變或斷裂)、不可微(有折點)的。

其二，作為等價的另一種表述，我們可以從另一個角度來理解非線性：在用于描述一個系統的一套确定的物理變量中，一個系統的—個變量最初的變化所造成的此變量或其它變量的相應變化是不成比例的，換言之，變量間的變化率不是恒量，函數的斜率在其定義域中有不存在或不相等的地方，概括地說，就是物理變量間的一級增量關系在變量的定義域内是不對稱的。可以說，這種對稱破缺是非線性關系的最基本的體現，也是非線性系統複雜性的根源。

對非線性概念的這兩種表述實際上是等價的，其一疊加原理不成立必将導緻其二物理變量關系不對稱；反之，如果物理變量關系不對稱，那麼疊加原理将不成立。之所以采用了兩種表述，是因為在不同的場合，對于不同的對象，兩種表述有各自的方便之處，如前者對于考察系統中整體與部分的關系、微分方程的性質是方便的，後者對于考察特定的變量間的關系(包括變量的時間行為)将是方便的。

關于非線性概念需要強調的是，線性或非線性的提法是相對于物理變量而言的，也就是說，隻有物理變量的關系才是判斷是否是非線性的根據，而非物理變量的關系不能成為非線性與否的判據。這裡所說的物理變量是指那些可以觀測的、人們感興趣的、對人類有意義的變量。例如分形理論中，簡單分形的分維D是恒量，在無标度區間内lnN=DlnL，lnN與lnL是線性關系，但是顯然不能籍此得出簡單分形是線性的結論。這裡的物理變量是N和 L，而不是經過對數變換的nN與lnL，即人們可觀測的、感興趣的、對人們有意義的是N和L，而不是lnN和lnL，N與L的關系N=LD是非線性的，所以可得出分形是非線性的結論。再如，物價對時間的直接關系正是人們感興趣的、對人們有意義的，而且兩者的關系是非線性的，所以物價随時間的變化是一種非線性現象。

非線性的性質

非線性科學正處于發展過程之中，它所研究的各門具體科學中的非線性普适類，有已經形成的 (如混沌、分形、孤子)，有正在形成的，還會有将要形成的，所以非線性的性質還沒有完全呈現出來，這裡也就不可能全面地讨論非線性的性質。下面僅從“非線性與線性的關系”、“非線性的物理機制”和“非線性與穩定性”三個方面作初步探讨。

非線性與線性是相對而言的，兩者是一對矛盾的概念，一方面兩者在一定程度上可以相互轉化，另一方面兩者又存在本質區别，再者兩者同時存在于—個系統中，規定着系統相應方面的性質。

(1) 非線性與線性的密切聯系

首先，在數學上一些線性方程可轉化為非線性方程來解。物理上的一些非線性問題，也可以通過數學變換而轉化為線性方程來研究。如非線性的KdV方程通過散射反演方法化為線性的可積方程，從而求出了精确的解析解；一些非線性不強的問題，可用線性逼近方法将其轉化為若幹線性問題來求近似解，這是已在各門學科中廣泛采用并相當有效的的方法。

其次，在某些情況下，由方程得到的解析解并不能提供更多的信息，無助于更好地理解系統的行為，而從解的非線性形式中，我們卻可以方便地得到所研究系統的重要性質。如：考慮這樣一個簡單方程：d2X/dt² X=0，它的解是X=Acos(t) Bsin(t)，從這個非線性形式中，我們容易知道它是個周期函數，滿足cos(t 2π)=cos(t)，sin(t 2π)=sin(t)。而從cos(t)和sin(t)的解析形式中，極難證明其具有相應的周期性這一重要性質。所以，認為線性方程可以得到解析解， 非線性方程難以得到解析解，因而線性能給出比非線性更多的有用信息是不确切的。這意味着，對某些問題從非線性的角度考察不僅是可能的，而且有時也是必要的。

所以，線性與非線性在一定程度上是可以相互轉化的，這表明了線性與非線性之間有密切的聯系。

(2) 非線性與線性的本質區别

非線性與線性雖然可以通過數學變換而相互轉化，在數學上有一定的聯系，但是在同一視角、同一層次、同一參照系下，非線性與線性又是有本質區别的。

在數學上，線性函數關系是直線，而非線性函數關系是非直線，包括各種曲線、折線、不連續的線等；線性方程滿足疊加原理，非線性方程不滿足疊加原理；線性方程易于求出解析解，而非線性方程一般不能得出解析解。

在物理上，近線性問題(它不是我們所說的非線性問題)可用線性逼近方法求出一定精确度的解，即依據具體問題對精确度的要求，逐次解出若幹個線性問題，把它們疊加起來，就能得到很好的近似解。但是對于非線性問題，由于存在小參數發散及收斂慢等問題，線性逼近方法将失效，特别是對于高速運動狀态、強烈的相互作用、長時間的動态行為等非線性很強的情況，線性方法将完全無能為力。線性逼近方法這些局限性，導緻非線性方法的不可替代，在無法用線性方法處理的強非線性的地方，隻能用非線性方法。線性逼近方法并非經常能奏效，這不光是方法論問題，也是自然觀問題，自然界既有量變又有質變，在質變中， 自然界要經曆躍變或轉折，這是線性所不能包容的。

(3) 非線性與線性在同一系統中的作用

非線性與線性有一定的聯系又有本質區别，它們常同時存在于一個系統之中，規定着系統不同側面的性質，一個确定的系統，一般都同時具有線性和非線性兩種性質：

首先，在一個給定的非線性系統中，它的非線性性質決定它的平衡構造或說穩定機制是否存在，及存在的地方。

其次，系統的線性性質決定着系統關于其平衡點(穩定結構)的小振動的規律，即系統在穩定點附近的線性展開性質。

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