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球的體積公式推導原理

生活更新时间:2024-11-25 03:05:25

數學故事之：球體積的前世今生

球的體積公式推導原理（球體積的前世今生）1

俗話說“前人栽樹後人乘涼”，古人的一些智慧結晶給我們的生活帶來了非常多的便捷。關于球體積的計算，中西方數學家都做出了傑出的貢獻，因此，我們現在可以直接用數學公式V=(4/3)πr3輕松地計算出球體的體積。這個公式雖然簡單，卻凝結了古今中外多位數學家的心血與汗水。那麼這個公式從何而來呢？

在西方，古希臘數學家稱用多邊形逼近曲線圖形的方法為“窮竭法”，早在公元前3世紀，阿基米德也是用這種方法去計算圓的周長、面積及圓周率的。阿基米德将他自己對球體積的計算一直引以為豪。阿基米德考慮一個球和它的外切圓柱，以及一個輔助的圓錐，其基本做法是将這些立體分割成無數的薄片，并用力學平衡的方法比較它們的體積，最後求得球體積的正确公式，阿基米德的方法可以看成是積分學的先聲。

雖然西方數學家阿基米德對球體積的計算研究的時間更早，但是在我國南北朝時期，祖沖之父子獨立研究出的“祖暅原理”比阿基米德的研究内容要豐富，涉及的問題更複雜。祖沖之和他的兒子祖暅一起，用巧妙的方法解決了球體積的計算問題。

《九章算術》中認為，球體的外切圓柱體與球體積之比等于正方形與其内切圓面積之比，劉徽為《九章算術》作注時指出，原書的說法是不正确的，隻有“牟合方蓋”（垂直相交的兩個圓柱體的共同部分的體積）與球體積之比，才正好等于正方形與其内切圓的面積之比。但劉徽沒有求出兩圓柱體垂直相交部分的體積公式，所以也就得不出球體積公式。祖沖之父子應用“等高處橫截面積常相等的兩個立體，其體積也必然相等”這一原理，求出了“牟合方蓋”的體積。而球體體積等于π／4乘以“牟合方蓋”體積，從而最終算出球體積，這個公式就是著名的“祖暅公理”。

球的體積公式推導原理（球體積的前世今生）2

由上圖，我們可知：（1/2）V球=（2/3）πr3，最終可得，V球=(4/3)πr3。球體積的公式便由此推導而來。

球的體積公式推導原理（球體積的前世今生）3

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