在自然科學、工程技術，甚至在某些社會科學中，函數是被廣泛應用的數學概念之一，其重要意義遠遠超出了數學範圍。在數學中函數處于基礎的核心地位，是貫穿于中學《代數》的一條主線。學好函數，對于學習極限、導數及微積分起到了一定的積極作用，本章節來介紹下四類具有特殊性質的函數。

一、有界性

① 定義：設函數 f(x) 在數集 A 有定義，若函數值的集合 f（A） = { f(x) ∣ x ∈ A} 有上界 （有下界、有界），則稱函數 f（x）在

A 有上界（有下界、有界），否則稱函數 f（x）在 A 無上界（無下界、無界）。

1、函數 f（x）在 A 有上界 ， 存在 b ∈ R ，對任意的 x ∈ A , 有 f（x）≤ b ；

2、函數 f（x）在 A 有下界 ， 存在 a ∈ R ，對任意的 x ∈ A , 有 f（x）≥ a ；

3、函數 f（x）在 A 有界 ， 存在 M > 0 ，對任意的 x ∈ A , 有 ∣ f（x）∣≤ M 。

注：函數 f（x）在數集 A 有上界（有下界）必有無限多個上界（無限多個下界）。

② 函數 f（x） 在區間 [ a , b ] 上有界的幾何意義

有界函數的圖像的幾何意義

函數 f（x） 在區間 [ a , b ] 上的圖像位于二直線 y = M 與 y = -M 為邊界的帶形區域之内 。

例題1、正弦函數 y = sin x 與 餘弦函數 y = cos x 在 R 有界 。

證明：存在 M = 1 > 0 , 對任意的 x ∈ R , 有 ∣sin x∣ ≤ 1 ， ∣cos x∣ ≤ 1 。

例題2、指數函數 y = a^x ( 0 < a ≠ 1 ) 在 R 上有下界無上界；

對數函數 y = LOGaX ( 0 < a ≠ 1 ) 在區間 （0， ∞）即無上界也無下界 。

指數函數 y = a^x ( 0 < a ≠ 1 ) 的圖像

對數函數的圖象

二、單調性

定義：設函數 f（x）在數集 A 有定義 。

若 對任意的 x1 , x2 ∈ A ，且 x1 < x2 ， 有 f(x1) < f(x2) 或 f(x1) > f(x2) , 稱函數 f（x）在 A 嚴格增加 或 嚴格減少 。

若 對任意的 x1 , x2 ∈ A ，且 x1 ≤ x2 ， 有 f(x1) ≤ f(x2) 或 f(x1) ≥ f(x2) , 稱函數 f（x）在 A 單調增加 或 單調減少 。

例題3、

① 指數函數 y = a^x ，當 a > 1 時，在 R 上嚴格增加 ； 當 0 < a < 1 時，在 R 上嚴格減少 , (如上圖) 。

② 對數函數 y = LOGaX ，當 a > 1 時，在區間 （0， ∞）嚴格增加 ；當 0 < a < 1 時，在區間（0， ∞）嚴格減少 , (如上圖) 。

三、奇偶性

定義：設函數 f（x）定義在數集 A 。

若 對任意的 x ∈ A ，有 - x ∈ A , 且 f（- x） = - f（x），則稱函數 f（x）是 奇函數 ；

若 對任意的 x ∈ A ，有 - x ∈ A , 且 f（- x） = f（x），則稱函數 f（x）是 偶函數 。

注：奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于 y 軸對稱 。

例題4、正弦函數 y = sin x 是 奇函數 ；餘弦函數 y = cos x 是 偶函數 ，如下圖所示 。

正弦和餘弦函數圖像

證明：

∵ 對任意的 x ∈ R , 有 - x ∈ R ， 且 sin ( - x） = - sin x , cos ( - x）= cos x

∴ 正弦函數 y = sin x 是 奇函數 ；餘弦函數 y = cos x 是 偶函數 。

四、周期性

1、定義：設函數 f（x）定義在數集 A 。

若 存在 T > 0 ， 對任意的 x ∈ A ， 有 x ± T ∈ A , 且 f（ x ± T） = f（x），則稱函數 f（x）是 周期函數 ， T 為函數 f（x）的一個 周期 。

注：若 T 是 函數 f（x）的周期，則 nT （n是正整數）也是它的周期。若函數 f（x）有最小的正周期，通常将這個最小正周期稱為函數f（x）的基本周期，簡稱為周期 。

2、周期函數的運算性質：

①若T為f（x）的周期，則f（ax b）的周期為 T/|a| 。

②若f(x)，g(x)均是以T為周期的函數，則f(x)±g(x)也是以T為周期的函數。

③若f(x)，g(x)分别是以T1，T2，T1≠T2為周期的函數，則f(x)±g(x)是以T1，T2的最小公倍數為周期的函數。

3、常見的周期函數有：

sinx，cosx，其周期 T=2π；

tanx，cotx,|sinx|,|cosx|，其周期 T=π。

解題提示：判别給定函數f（x）是否為周期函數，主要是根據周期的定義，有時也用其運算性質。

4、例題：

設對一切實數 x，有f（1/2 x）= 1/2 √【f(x)- f^2(x)】,則f（x）是周期為多少的周期函數？

解：f【1/2 （1/2 x）】= 1/2 √【f(1/2 x)- f^2(1/2 x)】

=1/2 √【1/4 - f(x) f^2(x)】= 1/2 【 f(x) - 1/2】

= f(x),(由題設 f(x)≥1/2)

即 f(1 x) = f(x) ,故可知 f(x) 的周期為 1 。

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