反常積分：反常積分又叫做廣義積分，指含有無窮上限/下限，或者被積函數含有瑕點的積分，也就是分為無窮區間上的反常積分和無界函數的反常積分。

無窮區間上的反常積分：設f(x)在區間[a,∞)上連續，稱為f(x)在[a, ∞)上的反常積分.如果右邊極限存在，稱此反常積分收斂；如果右邊極限不存在，就稱此反常積分發散。

無界函數的反常積分：設f(x)在區間[a,b)上連續，且f(x)在趨向于點b上的極限為∞，成為f(x)在區間[a,b)上的反常積分(也稱瑕積分)，使f(x)極限為∞的點b稱為f(x)的奇點(也稱瑕點)，這個點上是無法積分的。

圖一

如圖所示，給出一個反常積分，并告訴我們該反常積分收斂，則我們可以得到哪些信息。

通過反常積分的概念，可以知道這道題指的是在無窮區間的反常積分（隻要一看積分區間有∞存在，即可知道該反常積分為在無窮區間上的反常積分），如果右邊的極限存在，就稱該反常積分收斂，這個概念說明該反常積分存在極限，這道題反常積分的瑕點為1。

那我們便可以将該反常積分分為兩個區間來計算，一個區間是位于(0,1)，另一個區間則是位于(1, ∞)，我們可以先對第一個區間進行判斷，因為要讓該反常積分收斂，必須讓兩個區間的積分都收斂才可以。（一個是無界函數的反常積分，另一個則是無窮區間的反常積分。）

如果說這兩個反常積分有一個不存在，就說明該反常積分不存在（發散），反之，要說明該反常積分存在（收斂），說明兩個反常積分都要存在才可以。

由第一個區間判斷可以得到，a<1；由第二區間判斷可以得到當a b>1時，收斂。

最後得到的結果便是，a<1，a b>1，該反常積分收斂。

最後給出解答過程：

圖二

雖然有這道實例的支撐，但我對反常積分還是不夠理解，直到我看到了瑕積分的判斂性定理：

定理一，f(x)在區間（a,b]上連續并且f(x)>=0，設該區間趨向于a的極限存在，那就可以得到當x的幂次方小于1，該反常積分收斂，根據這個定理我們就能夠得到a<1這個結果的存在。

定理二，假設f(x)在區間[b, ∞)上連續，并且f(x)>=0，并且可以設為極限在x趨向于正無窮的區間上得到的結果存在。

那麼就可以得到，如果該結果屬于[b, ∞)，且其中x的幂次方大于1，則可以得到該反常積分收斂，則可以得到a b>1。

當然，還有其他很多定理，這裡我就不多講了，大家自己去看看書，查閱一下資料，總的來說，如果不知道定理，完全可以通過計算定積分的方式來解答出題目，但如果不是太擅長計算定積分的話，那最好可以背誦一下這些定理，有助于解題。

這道題目其實要深究的話還要追溯到一元函數積分學的基本概念，具體的我們後面再講。

圖三

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