有人問,離2021年高考已不足三個月,是否應該摒棄難題,回歸基礎?
(補充:成績中等)
既然問,就說明自己權衡不下,希望得到建議。
不才,隻能粗略地回答:根據以往的經驗,眼下還是強攻一些中難題以提升能力,回歸基礎,最後一到兩周足矣。
比如下面這道題,在考場上也許會戰略放棄,但平時焉能視而不見啦。
1 圍觀:一葉障目,抑或胸有成竹
導數壓軸不是稀罕事,未來也必有一套試卷延續這種模式。内容無非是函數的單調性、極最值、不等式恒成立求參數、證明不等式以及函數的零點。
第1問,函數的零點,分類讨論抑或分離參數皆可。新教材提供的極限模式,實在是功德無量,那些魔幻的取點手段暫時可以休矣。
第2問,證明含參不等式,顯然,統一變量是當務之急。
如何統一?
隐零點代換。
2 套路:手足無措,抑或從容不迫
函數的零點主要考查三個方向:1判斷函數零點的個數;2已知函數的零點求參數的取值範圍;2函數零點的綜合應用。
本題即是第1類,由于參數不含變量(即常數項),故分類讨論與分離參數并無太大差異。函數的零點、方程的實根、曲線的交點,三者相互轉化,體現了函數與方程的思想。
通過隐零點代換,将雙變量問題轉化為單變量問題,進而構造函數利用單調性即可證明。本題不難,但形式可怖,從而導緻不少人直接放棄,悔之晚矣。
值得說明的是,本小題的背景是高等數學中指數函數的“泰勒展開式”的前三項,較之切線不等式更為精細。
法1用到了當下熱門的“指對同構”,變形有一定的技巧,主要工具是對數恒等式。
同構——前面我們也介紹過不少。坦率講,我是鄙視這種套路的,無非就是花式變形。無奈2020年高考山東卷,同構橫空出世,加之學生又老是提及,所以無法熟視無睹。
你還别說,一旦用上就有一種難以抗拒的魔力,是個題都想去同構。
先放縮再構造是解決函數不等式的常用策略,放縮後往往一針見血。但注意放縮适度,避免過猶不及。
另外,不放縮直接構造函數也是可以的,交給機智的你吧。
3 腦洞:浮光掠影,抑或醍醐灌頂對于第(2)問的第②小問,下面給出一種學生的錯誤解答:
乍一看,上述解答似乎天衣無縫,水到渠成,堪稱簡潔完美。然而仔細瞧瞧,你會發現證明的結論強行變成了2a-lna>2。
咦?什麼情況?難道題目出錯了?
題目當然沒有錯,法1與法2便是鐵證。那麼隻能是解答錯了,錯在哪裡呢?錯在使用均值不等式放縮過度。所以,放縮有風險,解題需謹慎。
4 操作:形同陌路,抑或一見如故
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