說到正方形，大家應該都很熟悉，這是一種我們從小學就開始接觸的圖形，非常的對稱和完美。

小學期間因知識有限，并沒有對正方形進行深入學習，進入初中之後，教材對正方形相關知識内容進行拓展和深化，成為初中幾何學習重要内容之一，也是中考數學幾何重點考查對象之一。

什麼是正方形？

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。

從正方形的概念，我們可以看出它本質上是平行四邊形，是一種特殊的平行四邊形，更是一種特殊的矩形和菱形。因此，正方形不僅具有平行四邊形所有性質，更加具有自己的特殊性質。

縱觀近幾年以正方形為載體的中考數學試題，一般都是以基礎知識、基本技能、基本數學思想和基本數學活動經驗為依托，主要考查考生運用基礎知識分析、解決問題的能力。

作E關于BC的對稱點E′，點A關于DC的對稱點A′，

連接A′E′，四邊形AEPQ的周長最小，

∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，

∴AA′=6，AE′=4．

∵DQ∥AE′，D是AA′的中點，

∴DQ是△AA′E′的中位線，

∴DQ=AE′/2=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，

∵BP∥AA′，

∴△BE′P∽△AE′A′，BP/6=1/4

∴BP/AA’=BE’/AE’，即BP/6=1/4，BP=3/2，CP=BC﹣BP=3﹣3/2=3/2，

S四邊形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP

=9﹣AD•DQ/2﹣CQ•CP/2﹣BE•BP/2

=9﹣(3×2)/2﹣1×3/2×1/2﹣×1×3/2×1/2=9/2，

故答案為：9/2．

考點分析：

軸對稱-最短路線問題；正方形的性質；計算題．

題幹分析：

根據最短路徑的求法，先确定點E關于BC的對稱點E′，再确定點A關于DC的對稱點A′，連接A′E′即可得出P，Q的位置；再根據相似得出相應的線段長從而可求得四邊形AEPQ的面積。

解題反思：

本題考查了軸對稱，利用軸對稱确定A′、E′，連接A′E′得出P、Q的位置是解題關鍵，又利用了相似三角形的判定與性質，圖形分割法是求面積的重要方法。

中考數學，正方形，典型例題分析2：

如圖，正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，展開後折痕DE分别交AB、AC于點E、G，連結GF，給出下列結論：

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠GAD=∠ADO=45°，

由折疊的性質可得：∠ADG=∠ADO/2=22.5°，

故①正确．

∵由折疊的性質可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，

∴AE=EF＜BE，

∴AE＜AB/2，

∴＞2，

故②錯誤．

∵∠AOB=90°，

∴AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，

∴S△AGD＞S△OGD，

故③錯誤．

∵∠EFD=∠AOF=90°，

∴EF∥AC，

∴∠FEG=∠AGE，

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE，

∴EF=GF，

∵AE=EF，

∴AE=GF，

故④正确．

∵AE=EF=GF，AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG，

∴四邊形AEFG是菱形，

∴∠OGF=∠OAB=45°，

考點分析：

四邊形綜合題．

題幹分析：

①由四邊形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折疊的性質，可求得∠ADG的度數；

②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；

③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面積＞△OGD的面積；

④由折疊的性質與平行線的性質，易得△EFG是等腰三角形，即可證得AE=GF；

⑤易證得四邊形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性質，即可得BE=2OG；

⑥根據四邊形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF時等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的長，進而可得出BE及AE的長，利用正方形的面積公式可得出結論．

解題反思：

此題考查的是四邊形綜合題，涉及到正方形的性質、折疊的性質、等腰直角三角形的性質以及菱形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握折疊前後圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用。

認真掌握以下這些正方形的性質：

1、具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質；

2、正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；

3、正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；

4、正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；

5、正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形；

6、正方形的一條對角線上的一點到另一條對角線的兩端點的距離相等。

中考數學，正方形，典型例題分析3：

如圖，點P是正方形ABCD對角線AC上一動點，點E在射線BC上，且PB=PE，連接PD，O為AC中點．

（1）如圖1，當點P在線段AO上時，試猜想PE與PD的數量關系和位置關系，不用說明理由；

（2）如圖2，當點P在線段OC上時，（1）中的猜想還成立嗎？請說明理由；

（3）如圖3，當點P在AC的延長線上時，請你在圖3中畫出相應的圖形（尺規作圖，保留作圖痕迹，不寫作法），并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請說明理由．

解：（1）當點P在線段AO上時，

PE與PD的數量關系和位置關系分别為：PE=PD，PE⊥PD；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，

∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，

∵PA=PA，

∴△BAP≌△DAP（SAS），

∴PB=PD，

又∵PB=PE，

∴PE=PD．

（i）當點E在線段BC上（E與B、C不重合）時，

∵PB=PE，

∴∠PBE=∠PEB，

∴∠PEB=∠PDC，

而∠PEB ∠PEC=180°，

∴∠PDC ∠PEC=180°，

∴∠DPE=360°﹣（∠BCD ∠PDC ∠PEC）=90°，

∴PE⊥PD．

（ii）當點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，此時，PE⊥PD．

（iii）當點E在BC的延長線上時，如圖．

∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，

∴∠DPE=∠DCE=90°，

∴PE⊥PD．

綜合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；

考點分析：

正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質。

題幹分析：

（1）根據點P在線段AO上時，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE=PD；

（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要證PE⊥PD；從三方面分析，當點E在線段BC上（E與B、C不重合）時，當點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，當點E在BC的延長線上時，分别分析即可得出；

（3）利用PE=PB得出P點在BE的垂直平分線上，利用垂直平分線的性質隻要以P為圓心，PB為半徑畫弧即可得出E點位置，利用（2）中證明思路即可得出答案．

解題反思：

此題主要考查了正方形的性質以及全等三角形的判定與性質和尺規作圖等知識，此題涉及到分類讨論思想，這是數學中常用思想同學們應有意識的應用。

如何判定一個四邊形是不是正方形？掌握好這些正方形判定定理：

1、判定一個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：

先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。

先證它是菱形，再證有一個角是直角。

2、判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：

先證明它是平行四邊形；

再證明它是菱形（或矩形）；

最後證明它是矩形（或菱形）。

中考數學，正方形，典型例題分析4：

在平面直角坐标系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數）的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點P，頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點O），頂點C、D都在第一象限．

（1）當∠BAO=45°時，求點P的坐标；

（2）求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在∠AOB的平分線上；

（3）設點P到x軸的距離為h，試确定h的取值範圍，并說明理由．

（3）因為點P在∠AOB的平分線上，所以h＞0．

考點分析：

正方形的性質；坐标與圖形性質；全等三角形的判定與性質；解直角三角形；幾何動點問題；幾何綜合題。

題幹分析：

（1）當∠BAO=45°時，因為四邊形ABCD是正方形，P是AC，BD對角線的交點，能證明OAPB是正方形，從而求出P點的坐标．

（2）過P點做x軸和y軸的垂線，可通過三角形全等，證明是角平分線．

（3）因為點P在∠AOB的平分線上，所以h＞0．

解題反思：

本題考查裡正方形的性質，四邊相等，四角相等，對角線互相垂直平分，且平分每一組對角，以及坐标與圖形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識點。

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