伯特蘭·羅素（1872年5月18日–1970年2月2日），英國哲學家、數學家、邏輯學家、曆史學家、文學家，分析哲學的主要創始人。羅素的成就主要在哲學方面，是21世紀最偉大的哲學家之一，但他在數學方面的成就也不容小觑。在數學領域羅素的主要成就有兩個方面，一是他通過建立邏輯類型論來消除邏輯悖論；二是他從一個較為簡單的邏輯系統出發加之少量非邏輯公理推導出經典數學。為了消除悖論，羅素首先在《數學的原理》提出了類型論。羅素在數學邏輯方面具有巨大的貢獻，他和懷特海共同寫就了《數學原理》一書，被公認為是現代數理邏輯的基礎，他所提出的“羅素悖論”推動了20世紀邏輯學的發展，他所主張的邏輯主義也在一定程度上推動了數學曆史的發展。他最重要的貢獻是發現了羅素悖論，從而導緻了集合論從樸素集合論到ZFC公理集合論的過渡。

亞曆山大·格羅滕迪克（1928年3月28日-2014年11月13日），現代代數幾何的奠基者，被譽為是20世紀最偉大的數學家。由于他的許多開創性的工作，使得代數幾何這個古老的數學分支煥發出了新的活力，最終導緻皮埃爾·德利涅完全證明了韋伊猜想，這被認為是20世紀純粹數學最重大的成就之一。格羅滕迪克起初研究泛函分析，他深刻地改變了這門學科的面貌。迪厄多内稱格羅滕迪克的工作和S.Banach的工作一樣，在泛函分析中留下了最強的印記。五六十年代，格羅滕迪克對代數幾何進行了徹底的革命，發表了十幾本巨著，建立了一套宏大而完整的“概型理論”，創造了黎曼-羅赫定理的新版本，它也是是韋伊猜想，莫德爾猜想，費馬大定理證明的基礎，它揭示了代數簇的拓撲和解析性質間的隐藏關連。這些成就代表着當代數學的最高水平，足以光耀千古。

菲利克斯·克萊因（1849年4月25日–1925年6月22日）德國數學家。克萊因在數學上做出的第一個貢獻是在1870年與李合作發現的。他們發現了庫默爾面上曲線的漸近線的基本性質。1871年克萊因出版了兩篇有關非歐幾何的論文，論文中證明了如果歐氏幾何是相容的，那麼非歐幾何也是相容的。這就把非歐幾何置于與歐氏幾何同樣堅實的基礎之上。克萊因在他的著名的埃爾朗根綱領中，以變換群的觀點綜合了各種幾何的不變量及其空間特性，以此為标準來分類，從而統一了幾何學。變換在現代數學中扮演着主要角色。克萊因指明了如何用變換群來表達幾何的基本特性的方法。他在一篇論文中用幾何方法來處理函數理論并把勢論與保形映射聯系起來。克萊因還得到了一種連接代數與幾何的重要關系，他發展了自守函數論。

格奧爾格·康托爾（1845年3月3日-1918年1月6日）德國數學家，集合論的創始人。康托爾證明了函數f(x)的三角級數表示的唯一性定理，而且證明了即使在有限個間斷點處不收斂，定理仍然成立，并把唯一性的結果推廣到允許例外值是某種無窮的集合情形，這是從唯一性問題的探索向點集論研究的開端。他稱集合為一些确定的、不同的東西的總體，這些東西人們能意識到并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體。他還指出，如果一個集合能夠和它的一部分構成一一對應，它就是無窮的。他又給出了開集、閉集和完全集等重要概念，并定義了集合的并與交兩種運算。他以一一對應為原則，提出了集合等價的概念。他還引進了“可列”這個概念，把凡是能和正整數構成一一對應的任何一個集合都稱為可列集合，并證明了有理數集合，代數數的全體構成的集合是可列的，實數集合是不可列的，他又構造了實變函數論中著名的“康托爾集”,給出測度為零的不可數集的一個例子。康托爾還給出了良序集和無窮良序集編号的概念，指出整個超窮數的集合是良序的，而且任何無窮良序集，都存在唯一的一個第二數類中的數作為表示它的順序特性的編号。康托爾還引進了超窮數，借助良序集定義了超窮數的加法、乘法及其逆運算。

馮·諾依曼（1903年12月28日-1957年2月8日）美籍匈牙利數學家、計算機科學家、物理學家，是20世紀最重要的數學家之一，被後人稱為“現代計算機之父”、“博弈論之父”。馮諾依曼在數理邏輯方面提出簡單而明确的序數理論，并對集合論進行新的公理化，其中明确區别集合與類；其後，他研究希爾伯特空間上線性自伴算子譜理論，從而為量子力學打下數學基礎。他證明平均遍曆定理開拓了遍曆理論的新領域，運用緊緻群解決了希爾伯特第五問題，他還在測度論、格論和連續幾何學方面也有開創性的貢獻，創造了算子環理論，即所謂的馮·諾伊曼代數。從1942年起，他同莫根施特恩合作，寫作《博弈論和經濟行為》一書，這是博弈論（又稱對策論）中的經典著作，使他成為數理經濟學的奠基人之一。他起草的計算機方案EDVAC對後來計算機的設計有決定性的影響，特别是确定計算機的結構，采用存儲程序以及二進制編碼等，至今仍為電子計算機設計者所遵循。他是現代數值分析——計算數學的締造者之一，他首先研究線性代數和算術的數值計算，後來着重研究非線性微分方程的離散化以及穩定問題，并給出誤差的估計。他協助發展了一些算法，特别是蒙特卡羅方法。

亨利·龐加萊（1854年4月29日—1912年7月17日），法國數學家，被認為是對于數學和它的應用具有全面知識的最後一個人。他引進了富克斯群和克萊因群，構造了更一般的基本域。他利用後來以他的名字命名的級數構造了自守函數，并發現這種函數作為代數函數的單值化函數的效用。龐加萊在1883年提出了一般的單值化定理，同年同皮卡定理構成了後來的整函數及亞純函數理論發展的基礎。他又是多複變函數論的先驅者之一。1881～1886年發表的四篇關于微分方程所确定的積分曲線的論文中，他創立了微分方程的定性理論。他研究了微分方程的解在四種類型的奇點附近的性态。他提出根據解對極限環的關系，可以判定解的穩定性。他進行了大量天體力學研究，引進了漸進展開的方法，得出嚴格的天體力學計算技術。龐加萊證明了對于N體問題在N大于二時，不存在統一的第一積分。他完整地提出了不變積分的概念，并且使用它證明了著名的回歸定理。另一個例子是他為了研究周期解的行為，引進了第一回歸映象的概念，在後來的動力系統理論中被稱為龐加萊映象。還有象特征指數，解對參數的連續依賴性等等。所有這些都成為了現代微分方程和動力系統理論中的基本概念。龐加萊通過研究所謂的漸近解，同宿軌道 和異宿軌道，發現即使在簡單的三體問題中，在這樣的同宿軌道或者異宿軌道附近，方程的解的狀況會非常複雜。龐加萊的發現可以說是混沌理論的開創者。

龐加萊還開創了動力系統理論，1895年證明了“龐加萊回歸定理”。龐加萊對數學物理和偏微分方程也有貢獻。他用括去法（sweepingout）證明了狄利克雷問題解的存在性，這一方法後來促使位勢論有新發展。他還研究拉普拉斯算子的特征值問題，給出了特征值和特征函數存在性的嚴格證明。他在積分方程中引進複參數方法，促進了弗雷德霍姆理論的發展。

龐加萊對現代數學最重要的影響是創立組合拓撲學。他在六篇論文中建立了組合拓撲學。他還引進貝蒂數、撓系數和基本群等重要概念，創造流形的三角剖分、單純複合形、重心重分、對偶複合形、複合形的關聯系數矩陣等工具，借助它們推廣歐拉多面體定理成為歐拉—龐加萊公式，并證明流形的同調對偶定理。龐加萊的思想預示了德·拉姆定理和霍奇理論。他還提出龐加萊猜想，在“龐加萊的最後定理”中，他把限制性三體問題的周期解的存在問題，歸結為滿足某種條件的平面連續變換不動點的存在問題。

龐加萊在數論和代數學方面的工作不多，但很有影響。他的《有理數域上的代數幾何學》一書開創了丢番圖方程的有理解的研究。他定義了曲線的秩數，成為丢番圖幾何的重要研究對象。他在代數學中引進群代數并證明其分解定理。第一次引進代數中的左理想和右理想的概念。證明了李代數第三基本定理及坎貝爾—豪斯多夫公式。還引進李代數的包絡代數，并對其基加以描述，證明了龐加萊—伯克霍夫—維特定理。

戴維·希爾伯特（1862年1月23日～1943年2月14日），德國著名數學家，是20世紀最偉大的數學家之一，被後人稱為“數學世界的亞曆山大”。希爾伯特的數學工作可以劃分為幾個不同的時期，每個時期他幾乎都集中精力研究一類問題。按時間順序，他的主要研究内容有：不變量理論、代數數域理論、幾何基礎、積分方程、物理學、一般數學基礎，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特征值問題、“希爾伯特空間”等。在這些領域中，他都做出了重大的或開創性的貢獻。他在1899年出版的《幾何基礎》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動形成了“數學公理化學派”，可以說希爾伯特是近代形式公理學派的創始人。希爾伯特提出了新世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，被認為是20世紀數學的至高點。對這些問題的研究有力推動了20世紀數學的發展，在世界上産生了深遠的影響。

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