據科普中國消息，“地有多厚 天有多高/地有多厚 天有多高/星星眨着眼/月兒劃問号/彗星拖着長長的尾巴/彩虹來架橋……”

還有人記得這首《藍貓淘氣三千問》的主題曲嗎？是不是暴露年齡了～小時候的你，有沒有好奇過“天有多高、地有多厚”呢？

如果你平常有戴着運動手表爬山的習慣，可能還會發現，在爬山途中，手表似乎總會知道現在有多高，這是怎麼做到的？

01物理思路 vs 幾何思路

測量高度有物理和幾何兩種思路。我們先說物理思路：

如果你站在兩個地方，測到的重力不同，那就是這兩個地方距離地心（質心）的遠近不同，即高度不同。

這種物理的思路聽着有點浪漫，但對于普通百姓，實用值約等于零。

幾何的思路，從古到今一直被廣泛使用。選擇一個或多個觀測點，測量各種角度、邊長距離的數據，然後構建合适的三角形，就能算出高度。即使現在有衛星定位系統（也是幾何思路），我們仍會采用這種方法來測山的高度，哪怕是珠穆朗瑪峰。

珠峰測量。圖片來源：可視化星球《我們究竟是如何測量珠峰的？》

02有衛星 vs 沒有衛星

随着人們知道了地球是個球，而且測量的尺度越來越大，情況就發生了改變，測得的數據要按地面的彎曲做出調整，同時，空氣密度不同引起的光線折射偏差也得考慮。更麻煩的是，有些地方根本就測不了，比如，想測一個海島，站太遠，島被淹沒在地平線以下，想靠近點，又沒陸地。

後來，人類的天空變得更高，衛星能幫我們看清大地的全貌，也讓我們的運動手表能知道所處的位置有多高。

與傳統觀的地面測量不同，衛星定位系統需要一個空間直角坐标系，這樣，空間内的任何位置都能用坐标來表示。在這個坐标系裡，原點是地心，Z軸是地球的自轉軸（地軸的運動取均值），X軸指向子午線，Y軸按數學老師教的右手方法确定（如下圖所示）。所以，隻要測得與4顆不同衛星的距離，就能算出你所在位置的坐标，進而推算出其他有用的數據。

制圖：徐靜中

這麼一來，衛星定位系統确實解決了原來的曲面和遠距離問題，但新問題又随之産生，如何知道衛星在空間的準确位置？又如何精确地測出你與衛星之間的距離呢？

想要精确，地面和衛星使用的時間得先一緻，現在具體是幾點幾分，以及每一秒應該有多長，必須相同，但我們地面的時間是以地球自轉為基礎，而衛星使用原子時，這就得協調一緻。還有，衛星離我們那麼遠，飛那麼快，時間流逝的速度和地表是不同的，所以要按照愛因斯坦的相對論做修正。然後，衛星的軌道你得算精準，這裡又涉及很多物理參數。再然後，空氣密度不同對電磁波的影響仍然存在，測距時要考慮。還有，衛星信号的接收機本身可能受到電磁幹擾、軟件計算上的問題也會造成誤差。

其實，衛星定位系統測量的精度未必高于傳統的地面測量。所以，那些要求高的測量，需要空中網絡（衛星系統）與地面網絡（地面輔助定位的基站）相結合，兩種數據互相矯正。

03衛星定位與地圖

為了實際應用，我們需要把空間坐标的數值換算成地圖上的位置，也就是讓每個點都有對應的經度、緯度、高度。

制圖：徐靜中

要給球面上的點确定經緯度不難（如上圖所示），但确定高度就不那麼簡單了。因為，高度的起點在哪就是個問題。

我們很容易想到用海平面作為高度的起點，然後把這個基準高度延伸到整個地球。可以，我國就是長期觀察黃海的漲落，算了一個海平面的平均值作為零海拔，這是測高的起點。

但地球不是一個正球，它有點扁，基準海平面應該按最貼近地球的形狀去延伸，而這個形狀又必須能用數學來表達。思來想去，人類選擇了橢球體。

去除海洋的幹貨地球

我國的北鬥系統使用2000國家大地坐标系，其中默認的地球橢球體長半軸為6378137米，短半軸為6356752.31414米。那麼，現在确定經緯度也要改用這個橢球體，它比正球體複雜一點點，如下圖所示。

制圖：徐靜中

好啦，咱們隻要把黃海高程延伸到整個橢球體，然後，你所在位置垂直到這個橢球面的距離就是高度。那運動手表裡真是這樣算的嗎？還不是，因為衛星定位系統不使用這個黃海高程延伸的橢球體。

04海平面不平

請你想一想，為什麼要用海平面作為高度起點？因為水面能代表一個重力相等的面。

我們知道，地球的重力分布并不均勻，所以全球的海平面（學名：大地水準面）在重力影響下有高有低，不是一個規則的球體。如果你要知道最正确的海拔高度，就應該是該點垂直到海平面的距離。可是，凹凸不平的大地水準面無法用數學表達，衛星定位系統更不會采用。

圖片來源：《地圖制圖基礎總結歸納——地圖的控制基礎》

那衛星定位系統用什麼做高度起點呢？上文提到過北鬥系統使用的2000國家大地坐标系，裡面具體設定的那個橢球體（學名：基準橢球體），它就是全球算高度的起點。

制圖：徐靜中

之所以設定這樣的橢球體，是因為經過多年研究測算，它與地球幾何最吻合，可以代表全球平均的水準面。很顯然，它不等于我國的黃海高程延伸面。

衛星定位系統測量與純正的海拔高度區别對比。制圖：徐靜中

現在知道了，我們通過衛星定位系統測量的高度，比如運動手表上的讀數，是上圖左側的橢球高。至于上圖右側的正高，也就是純正的海拔高度，你必須知道真實的大地水準面在哪裡，海面部分它與水面吻合，但陸地部分（尤其在山地），這個面既看不見又難以定位，所以，我國把黃海高程延伸到整個陸地，當作高度0，形成一個近似的大地水準面，你日常看到的地圖、地理标志上的高度都是以此為起點的近似海拔高度。

參考文獻：

[1]GPS原理與接收機設計謝鋼 電子工業出版社 2017.1

作者：徐靜中 範琪

審核：劉松川 中國科學院空天信息創新研究院高級工程師

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