數學分析是國内數學專業本科階段的專業基礎課，其中的内容包含着微積分；而其他理工科的學生會學習包含微積分内容的高等數學，同樣作為基礎課程。無論是數學分析，還是高等數學，最重要和基礎的一個概念就是極限。要想學好微積分，透徹地理解極限的概念和思維方法。首先，簡單說一下極限的發展背景。

萌芽

在17世紀之前，數學發展屬于常量數學時期或者初等數學階段，幾何與代數的發展相對獨立，這段時間發展的數學被大量用于初等、中等教育。然而在初等數學時期，人們對運動和無限，存在着思維的障礙，比如芝諾悖論，比如無限大、無窮大或無限接近。阿基米德曾使用正多邊形去逼近圓，然後求得圓周率。從直觀上來講，正多邊形無論外切，還是内接，随着邊數的增加，其面積和邊長都可以無限的接近。但是這個無限接近是缺乏數學描述和論證的，科研可以始于直覺思維，但落腳必須要嚴謹，正因此，這種直覺的“極限”方法很難遷移、用于其他地方。直到數學發展到解析幾何，人們有了變量的思維，代數和幾何得到統一，對運動及其軌迹問題有了數學函數或方程的描述，分别促使牛頓和萊布尼茨在運動和幾何的角度，引入了微積分。自此又經過200多年，直到柯西等人将分析嚴密完備化。

要學好高等數學或微積分，就是要學好、吃透“極限”的概念，必須要有這種思維的轉換，這種轉換是造成學習困難的最大障礙。想想數學從常量數學到變量數學發展跨越1000餘年，經典數學分析的嚴密化也花費幾代數學家幾百年時間，而你要想通過一年半載吃透，沒點難度的話，也說不過去呀！所以，學習的心态、态度要擺正，遇到困難大可不必沮喪，除非你也是個天才。

充滿“極限”的微積分

微積分中處處充滿着辯證的矛盾：常量與變量、收斂與發散、有限與無限、近似與精确、連續與間斷、微分與積分等，而所有的這些概念無不與“極限”相關。極限首先從離散的數列開始入手讨論，定義數列極限，數列是收斂還是發散，收斂數列的性質，收斂準則等等；再讨論函數的極限，從定義入手，遷移了數列極限的思路，讨論了函數極限的性質等，數列與函數通過海涅原則得到連接；又由于連續函數的定義域可以是實數集，而數列可以看成是定義在正整數集上的函數，由于這種差别，函數引入了連續和一緻連續，依然是通過極限來定義，然後給出了連續函數的有界、零點或介值、最值的性質；為進一步研究函數的性質，繼續通過極限定義了函數的導數和微分，引入了求導法則和微分中值定理，用于讨論函數的單調性、極值或最值、凸性等問題，還讨論了函數可導與連續的關系；依然是辯證法的使用，考慮函數微分的逆運算，引入了不定積分，介紹了不定積分的計算方法和幾類可積函數；最後通過極限定義了定積分，然後介紹可積條件、性質，包括定積分中值定理和計算方法等内容，注意定積分采用的定義是黎曼可積，還有一種稍有區别，但适用範圍更廣的勒貝格積分定義，如此時具有可數間斷點的函數可積；結合積分區間的無限性或函數的無界性，又引入了無窮積分和瑕積分；無論是哪種積分，都是通過極限定義，微積分的學習過程中，充滿極限，引入了很多概念，因此對極限的理解要深刻、透徹，證明極限的方法要尤其熟練掌握，這是最基本的基本功，可以使用等價代換、分步法、放大法來證明極限問題，熟練掌握和使用極限基礎上引入的新概念。

上面介紹的連續、一緻連續、微分和積分，全部是考慮的一元函數，将一元函數遷移到多元函數，得到偏微分、重積分、含參變量的積分、多重積分等等内容。而級數作為一個相對獨立的内容，先從數列級數入手，然後遷移函數項級數，讨論了收斂判别準則等内容，全部與極限緊密相關。由此看來，吃不透“極限”的思路和概念，是絕無可能學好微積分的！

除了上述内容，數學系的學生還要花大力氣掌握：确保實數系完備性的基本定理，包括其證明的思路和方法，都極具啟發性。

通過極限描述了連續性、單調性、有界性、可導和可積性、收斂性等等問題，在理解和消化的過程中，除了理解這些概念，掌握性質定理、判别原則，還需要有舉反例質疑的能力，比如：可導是連續的充分而非必要條件，一個反例就能得到肯定。當然了這個反例，剛剛接觸微積分的同學很難給出，要知道，對處處連續但不可微的“病态函數”，數學史上也曾有過争議。

在微積分的思想上，繼續發展産生了新的數學分支：常微分方程論、偏微分方程論、微分幾何、複變函數論、解析數論等。這種思想在數學發展中占據着主導地位，不僅僅是在數學的後續、高年級課程，即使在其他的理工科的後續學習中，微積分都是不可缺少的工具，真可謂成也微積分，敗也微積分。

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