微分和積分啥關系?作者 張天蓉當我們學習微積分時，都是從微分（或者說導數）的定義開始也就是說，先學微分，再學積分然而，從前面幾節追溯古希臘和古中國數學發展的曆史來看，古代數學家就已經有了計算許多不同幾何形狀的面積和體積的方法也就是說，古時候就已經有了積分的概念和初步方法，今天小編就來聊一聊關于微分和積分啥關系?接下來我們就一起去研究一下吧!

微分和積分啥關系

作者 張天蓉

當我們學習微積分時，都是從微分（或者說導數）的定義開始。也就是說，先學微分，再學積分。然而，從前面幾節追溯古希臘和古中國數學發展的曆史來看，古代數學家就已經有了計算許多不同幾何形狀的面積和體積的方法。也就是說，古時候就已經有了積分的概念和初步方法。

因此，微分積分，在微積分的教學中，與微積分的曆史發現過程中，次序是反過來的。前者是先微分後積分，後者是先有積分，後有微分。從人類思維的角度細究一下這個區别，也許對在教學中如何貫穿相應數學概念的發現曆史有所幫助。

數學中常常看見正運算和逆運算的對立，例如，加和減、乘和除、平方和開方等等。我們學習了微積分後知道，微分和積分也是一對正運算和逆運算。但這個“正反”運算的對立，從直觀上看起來并不是那麼明顯。從直覺來說，微分和積分都不是一下子就發明出來的。積分用于求體積面積等靜态的物理量，微分用來求曲線斜率，即變化率等一類具有動感的物理量，兩者似乎獨立互不相關。就人類的認識過程而言，認識靜态事物的物理規律遠比認識動态事物容易。所以，從古代就有了計算複雜形狀體積的要求，這些需求刺激如阿基米德、祖沖之之流的數學家們進行研究，從而産生了一些類似積分的方法。而對變化率計算的要求，基本上是在離阿基米德将近兩千年之後的意大利物理學家伽利略（GalileoGalilei，1564年－1642年）研究自由落體運動等力學規律的時候才開始産生。

用現代的眼光來看發現微積分的曆史，可以分為3個階段：1. 極限概念，2. 積分法求體積面積，3.發現微分積分互逆。極限概念必須先行，這點在兩個過程中是一樣的。

通常認為最後一步（發現微分積分互逆）是被牛頓和萊布尼茨分别獨立完成的，因此将發明微積分的功勞歸于他們倆。但實際上從現代數學的觀念來看，微分和積分作為互逆運算的本質，是被“微積分基本定理”所描述的。早在牛頓和萊布尼茨之前，對“微積分基本定理”，就已經有一個長長的研究曆史。因此，為了更深入理解微分積分之間的聯系，我們探索一下“微積分基本定理”發現的曆史過程。從展示曆史的線索，能讓我們明白這個定理為何重要？以及隐藏于微積分概念背後的科學動機。

微積分基本定理包括兩個部分：第一部分表明不定積分是微分的逆運算，闡明了原函數的存在；第二部分表明定積分可以用無窮多個原函數的任意一個來計算。

伽利略對科學的貢獻無人能比。他常被人們（包括愛因斯坦）譽為是“現代科學之父”，當代物理學家霍金也說：“自然科學的誕生主要歸功于伽利略。”伽利略的貢獻是多方面的，這兒僅舉力學方面一例：他做的落體實驗證明了：物體下落的運動不是勻速運動，而是加速運動。如何在數學上來描述非勻速運動呢？這顯然要涉及到如今我們熟知的“即時速度”的概念。有了微分（導數）之後，即時速度的意義不難理解，由此可知，伽利略的力學理論為微分理論的建立提出了實用意義上的“需求”。

伽利略晚景凄涼，被教會軟禁在家，最後雙目失明。但他直到臨終前仍在從事科學研究。經常陪伴他的是他的最後的學生之一：以發明氣壓計而聞名的意大利物理學家、數學家托裡拆利（EvangelistaTorricelli, 1608∼1647）。

托裡拆利在研究伽利略的力學貢獻時，意識到在抛物線上進行的兩種運算（類似微分，積分）是互逆的。但他并未真正建立“微積分基本定理”。

後來，蘇格蘭數學家詹姆斯·格裡高利（JamesGregory，1638年－1675年）首先發表了該定理基本形式的幾何證明，牛頓的老師，艾薩克·巴羅證明了該定理的一般形式。然後才是牛頓和萊布尼茨。最後是100多年之後的法國數學家柯西（LouisCauchy，1789年－1857年）将微積分理論，包括“基本定理”嚴格化。

實際上，發明微積分最早的先驅人物之一，不能漏掉法國（業餘）數學家費馬，下次專門介紹他。

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