ID：welsim666，作者：ZifengYuan。

我們最早接觸到剛度這個概念，應該是在學習彈簧這個物理構件的時候，彈簧的剛度k 定義于彈簧受力F 與其變形δ 的比值。在簡單的情形下，我們認為彈簧剛度k 是一個常量，而楊氏模量E 則最早出現在材料力學當中，定義為應力與應變的比值（一維情況下）。

更廣義的來說，剛度可以推廣為某種結構針對某種變形的抵抗能力，而且不同的定義下剛度的量綱也會發生相應的改變。譬如在梁理論裡面，我們可以定義梁的抗彎強度，可以定義杆件的抗扭強度（注意這個量綱是力矩/弧度）等等。在有限元或者結構力學裡面，我們所組裝的整體剛度矩陣的某個元素的含義，就是某結點在某個自由度方向下移動一個單位長度所需要的力。

那我們來研究一下這個問題。比如，一個長度為L，模量為E，橫截面積為A 的杆, 其剛度為多少？

很簡單，我們隻需要計算在變形δ 下，所需要的力F 的值。

先求應變

然後求得應力

然後施加在杆上的力就可以求得

從而，剛度k 就可以得到

到此我們得到一個簡單的結論，在材料力學基礎上定義的杆，可以等價成一個類似彈簧的東西。也就是我們把應力-應變關系，轉變成了力-位移關系。

那麼，我們開始想這樣一個問題。假設我們有一個長度L 的一維杆, 這個杆由兩根長度為L/2的杆粘結而成，兩個杆材料 (E, A) 相同，粘結處可承受的最大應力（也就是強度）為σ 0。我們應該如何建模來模拟這個一維杆在受軸向拉伸時候的力學響應呢？

理想情況下，粘結位置的厚度為0。厚度為0 的一種東西有一個及其麻煩的地方——沒辦法計算應變。應變是一種變形比例的量度，厚度為0 即意味着比例是不存在的。那麼，既然應力-應變關系不可行，就思考力-位移關系。這裡，我們可以通過粘結處的強度計算這個位置可最大承受的拉力

由于這是一維杆，這也是整個杆能承受的最大拉力。

此外，我們還感興趣的是能量，也就是需要做多少功才能把這個粘結處拉斷。通常，我們會定義斷裂韌性GI （fracture toughness，牛/米的量綱）來度量單位面積斷裂所需要做的功。這樣，我們就可以用一個簡單的線性模型來模拟杆的力位移曲線：

• 初始階段為線彈性，直到拉力達到最大值；
• 當拉力達到最大值之後，随着變形的增大，拉力減小，也就是進入軟化階段；
• 拉力降低到0，整個力-位移曲線的面積為GI A。

問題到這裡似乎解決的挺好的了，但在有限元裡面我們應該如何處理這個厚度為0的一個準彈簧的單元呢？

在實體單元裡面，我們采用Gaussian積分點，在積分點上我們計算應變（包括增量應變），然後返回應力和模量；再在單元内通過對積分點信息的積分，計算單元内力以及單元剛度矩陣。但這個并不适用于這個問題，我們希望的是這個單元有這樣一個性質：

• 單元允許在某個維度方向上厚度為0；
• 單元積分點的傳入信息是在這個不連續面上的位移的跳躍值 (displacement jump)，而傳出的信息是在當前這個跳躍值附近的剛度。

這種單元也就是所謂的cohesive zone element，相對應的材料則是cohesive zone model。這種單元的特性如下：

• 建模和劃分網格的時候采用double-node技術，也就是将cohesive surface上的結點做一個簡單的複制，然後鍊接成擁有初始厚度為0的cohesive zone element （注意這種單元其實并不一定要求初始厚度為0）；
• 單元采用Newton-Cotes積分方法（至于為什麼不用Gaussian積分方法，大家可以做做研究，因為這個原因至今還未完全解決）；
• 單元傳入的是位移的跳躍值，返回的是這個積分點上的單元剛度矩陣。

為了方便，cohesive zone model會定義一個彈性剛度範圍，也就是當位移跳躍小于某個值的時候，我們認為這個單元還是處于彈性階段。但這個假設會從某種角度産生一定的誤差，例如從之前的一維杆說起，實體部分的剛度為

cohesive element 的彈性階段剛度為

那麼，我們可以通過彈簧的串聯公式計算整個杆的等效剛度為

不過我們也可以發現，當充分大的時候，不等式兩端的誤差會充分小。因此，我們在用cohesive zone element 的時候，會将其彈性剛度設置的充分大，讓其不會去影響整個結構在彈性階段的響應。其本質還是應力-應變關系和力-位移關系的互相轉化時候的概念問題，簡單來說就是一個厚度為0應變不存在的單元，就不應該對結構的線性響應産生任何貢獻。

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