三角函數是高中數學的重要内容，它蘊含着豐富的數學思想方法。靈活地借助數學思想方法解題，往往可以避免複雜的運算，優化解題過程，降低解題難度。本文能過實例介紹幾種常用的數學思想方法。

一. 方程的思想

例1. 已知sinθ cosθ=

，θ

（0，π），則cotθ=________。

解析：由sinθ cosθ=

平方得

sinθcosθ=

。

又θ

（0，π），

所以sinθ＞0，cosθ＜0，

且sinθ＞

，

将sinθ，cosθ看作是方程

的兩根。

所以sinθ=

，cosθ=

。

從而cotθ=

，應填

。

二. 函數的思想

例2. 已知x，y ∈[

]，且x3 sinx-2a=0①，4y3 sinycosy a=0②，求cos(x 2y)的值。

解析：設f(u)=u3 sinu。

由①式得f(x)=2a，由②式得

f(2y)=－2a。

因為f（u）在區間[

]上是單調奇函數，

所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。

又所因x,-2y∈[

]，

所以x=-2y，即x 2y=0。

所以cos(x 2y)=1。

三. 數形結合的思想

例3. 函數f(x)=sinx 2

，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值範圍是______。

解析：f(x)=

函數f(x)=sinx 2

，x∈[0，2π]的圖象（如圖1）與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則1＜k＜3。

四. 化歸的思想

例4. 設α為第四象限的角，若

，則tan2α=_________。

解析：因為

=

=

=

，

所以，tan2

=

。

又因為

為第四象限的角，

所以tan

=

，

從而求得tan2

=

。

五. 分類讨論的思想

例5. 若△ABC的三内角滿足sinA=

①，問此三角形是否可能為直角三角形？

解析：假設△ABC可以為直角三角形。

（1）若B=90°，則A=90°-C，代入①中，得

sin(90°-C)=

，

所以cos2C=1 sinC，1-sin2C=1 sinC，

所以sinC=1，即C=90°。這是不可能的，所以B≠90°。

（2）同理，C≠90°。

（3）若A=90°。

①式右邊=

①式左邊=sinA=sin90°=1。

所以此三角形可為直角三角形，此時A=90°。

六. 換元的方法

例6. 已知sin3θ cos3θ=1，求sinθ cosθ的值。

解析：因為sin3θ cos3θ

=(sinθ cosθ)(sin2θ cos2θ-sinθcosθ)

=(sinθ cosθ)(1-sinθcosθ)

所以(sinθ cosθ)(1-sinθcosθ)=1。

設sinθ cosθ=x(

)，

則sinθcosθ=

。

所以x

，

即x3-3x 2=0，(x-1)2(x 2)=0。

因為

，

所以x-1=0，得x=1。

所以sinθ cosθ=1。

七. 整體的方法

例7. 證明cos

。

證明：設

，

b=

，

則ab=

=

=

。

因為b≠0，

所以a=

。即原式得證。

八. 類比聯想的方法

例8. 已知λ為非零常數，x∈R，且f(x λ)=

。問f(x)是否是周期函數？若是，求出它的一個周期；若不是，請說明理由。

分析：由于探索的是周期函數的問題，容易聯想到三角函數。又f(x λ)=

的結構的形式極易與tan(x

)=

進行類比，故可把tanx看成是f(x)的一個原型實例，且題中的λ相當于實例中的

。由于周期函數tanx的周期T=4·

，故可猜想f(x)也為周期函數，且周期為4λ。

解：f(x 2λ)=f[(x λ) λ]

=

，

則f(x 4

)=f[(x 2

) 2

]

=

。

所以f(x)是周期函數，且4

是它的一個周期

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