數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學。原始數學知識是從人類生産和生活的需要中産生的。由于農業和手工業規模的擴大，貨物交換的繁榮，尤其是丈量土地、建築房屋、興修水利、制造器皿、制定曆法等實踐活動，迫切需要相應的數學方法和計算技能，從而推動了數學的發展。從遠古到春秋戰國時期，在中國數學史上具有深遠影響和世界意義的傑出成就，主要有下列幾項：（1）創造十進位置制記數法，（2）發明算籌和籌算，（3）發明規矩，（4）發現勾股定理和創立勾股測量方法，（5）創立早期的數學教育制度。

數學的萌芽遠古上古時代，人們最初僅能分辨多少和大小，而數量與形狀是與具體事物聯系在一起的。經過長期反複的實踐，人們逐漸積累了大量關于事物數量和物體形狀的知識，終于從事物的具體屬性中，抽象出純粹的數與形的原始概念，實現了認識史上的一次巨大飛躍。傳說“上古結繩而治，後世聖人易之以書契”，由繩結多少表示事物數量的多少，這是文字産生以前的原始記數方法。“契”指的是刻劃。在仰韶文化及年代稍晚的馬家窯文化等遺址中出土的陶器上，有五十多種刻劃符号，其中如Ｉ（1）、Ⅱ（2）、Ⅲ（3）、■（4）、■（5）、∧（6）、十（7）等，很可能是我國最早的記數符号。從遠至河套人的骨器到仰韶文化的彩陶，大量器物上繪有直線、折線、平行線、三角、弧、圓、方、菱形、五邊形、六邊形、各種對稱圖形以及一些相當複雜的幾何圖案；許多器物制成柱、錐、球等規整的幾何形狀；在西安半坡遺址，發現有圓形和正方形房屋基地，因此當時必定存在某種确定方圓的簡單方法。這些都反映出遠古人們已經有了一定程度的抽象形體概念和粗淺的幾何知識。

文字記數法文字産生以後，相應出現了明确的十進制記數法。在殷周甲骨文蔔辭裡，已有表示基本數目的專用文字：—（1）、＝（2）、■（3）、■（4）、Ⅹ（5）、■或∧（6）、十（7）（8）、九（9），｜（10）。100是“■”或“■”，1000是“■”，10000是“■”。大于10的自然數采用十進制。記多位數用合文，如■表示40，■■■■表示2656。甲骨文記錄的最大數字是三萬。在西周銅器銘文中，個别記數文字，雖然有所變化，但整個記數系統仍然采用十進制。漢代以後，記數文字已經與現代基本一緻了。此外，殷商就已使用的60循環的幹支紀年紀日法，一直沿用至今。在《周易》中，用陽爻（—）和陰爻（—）兩種符号排列而成的八卦，六十四卦，體現了二進制的思想，也得到了自萊布尼茨（G•W•Leibniz，46—17）以來許多學者的高度評價。

算籌和籌算

算籌和籌算的發明，是中國古代數學的重大成就，其出現不會晚于西周。算籌是一種特制的小竹棍，也有用木、骨、鐵等材料制做的，在中國古代曾長期作為記數和計算的工具。算籌一般都盛放在算子筒裡，出外時則裝在一個特制的絲袋（稱為“算袋”）裡，佩帶于使用者的腰部。《漢書》記載：“其算用竹，徑一分，長六寸”，《隋書》則說：“其算用竹，廣二分，長三寸”，這可能說明算籌随着時代不同而變短變小，這樣使用起來更加方便。1971年8月，陝西千陽西漢墓中出土了骨質算籌。這些細長圓柱形的算籌，兩頭齊整，粗細比較均勻，大多長度為13.5厘米，直徑平均為0.3厘米，按古尺折算，其形制與《漢書》記載基本相符。用算籌表示數字，有兩種擺法：算籌記數法則是“一縱十橫，百立千僵。千，十相望，萬，百相當”，把同一個數碼放在十位就代表幾十，放在百位就代表幾百，并且縱橫兩式交錯放置，以免混淆。用空位表示零。如插圖上籌式表示數字1971。

這是很完備的十進位置制記數法。這種記數方法簡單明确，一目了然，易于掌握，用一些竹籌即可表示任何數字，其優越性是十分明顯的。到了漢代，還出現了用紅色算籌表示正數和用黑色算籌表示負數的方法。世界上一些文化發達較早的國家也分别采用過十進制和位置制。例如，古巴比倫人采用位置制，但用的是六十進制。中美洲的馬雅人也知道位置制的道理，而用的是二十進制。在羅馬數字中，5的符号是Ⅴ，左邊放上1，是4（Ⅳ），右邊放上1是6（Ⅵ）。10的符号是Ⅹ，而Ⅸ表示9，Ⅺ表示11。至于百、千、萬又各有符号。用這種記數法表示較大數目相當複雜。古希臘用27個希臘字母相互配合才能表示1000以内的數目，也非常繁瑣。古埃及使用的記數法是十進制，但不是位置制。既用十進制又用位置制的記數法，以中國為最早，據現有資料，一直到公元六七世紀，印度才采用十進位置制記數法，而其他國家更要晚得多。十世紀後，印度的十進位置制數碼經阿拉伯傳入地中海國家和西歐各國，并被稱為“阿拉伯數碼”。實際上，現在世界通用的十進位置制記數法很可能起源于中國。

用算籌進行計算，叫做籌算。算籌和籌算究竟産生于什麼時代，由于缺乏資料，現在還無法肯定。甲骨文中有些記數文字類似于算籌的擺法。西周時期，數學是貴族子弟必修的科目之一。而早在春秋時期，乘法表（即古代乘法口訣，從九九八十一開始，到一一如一為止，亦稱“九九”）就已經成為十分普通的常識。根據這些情況來看，算籌記數和簡單的四則運算，很可能在西周時期就已産生了。一直到十三世紀的元朝，珠算法逐漸推廣之前，算制度沿用了兩千多年。中國古代數學的許多輝煌成就，正是在籌算的基礎上取得的。

規矩和勾股定理

我國很早就發明了簡單方便的繪圖工具和測繪儀器——規和矩。《史記》記載夏禹治水時“左準繩，右規矩”，反映了規、矩、準、繩作為測量和繪圖工具在興修水利時所受到的重視程度。古代的“規”相當于圓規，“矩”類似木工用的曲尺。在甲骨文中就已經有了規和矩兩個字。“規”字是手執規畫圓的樣子（■），“矩”字寫作匚。漢代的許多畫象磚石，繪有伏羲執矩，女娲執規的圖象，從中可以看出古代規和矩的基本形制。在與“矩”有關的記載中，最重要的命題就是勾股定理（直角三角形的兩條直角邊平方之和等于斜邊的平方）。勾股定理是我國早期數學史上最重大的發現之一。《周髀算經》記載，西周初期周公與商高讨論天文學問題時提到“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五”，即勾股形三邊之比為3∶4∶5，這是特殊形式的勾股定理。此外，該書還提到“環矩以為圓”的性質。《周髀算經》約成書于公元前一世紀，時代較晚。因此，有人懷疑該書所記周公與商高問答的可靠性。當然，有關勾股定理的發現時代問題，還需要更多的佐證。但聯系到中國遠古時代水利與建築工程的複雜程度與所需的測量知識，那麼，我國很早就發現了一般形式的勾股定理，這是勿庸置疑的。規可以作圓和弧，矩可以作直線和直角。據《周髀》記載，矩在測量方面的用法是“平矩以正繩，偃矩以望高，複矩以測深，卧矩以知遠”，即利用矩的不同擺法根據勾股形對應邊成比例的關系，可以确定水平和垂直方向，測量遠處物體的高度、深度和距離。

數學知識的豐富和提高

春秋戰國時期，百家争鳴，學術繁榮。廢除井田，履畝而稅，需要丈量土地面積，建築城堡，興修水利，計算人工，需要知道體積和比例分配，制訂曆法，制造器皿，需要認識部分與整體關系和掌握分數概念。因此，數學也獲得了相應的發展，特别是更加充實了有關分數、比例、面積和體積等方面的數學知識。古四分曆法和樂律計算中的“三分損益法”，要用到分數，，。當時不少文獻中也都記載了有關分數的資料。如“十分寸之一132314謂之枚’，即“枚”等于十分之一寸；“兵矢、田矢五分，二在前，三在後”等。據記載，齊國的标準量器“鬴”，應合升，而每升容積為立方寸。一直流傳至今的秦國标準量器“商鞅量”，其容積為立方寸。戰國時各自為政，各地區的度量衡制彼此64151558不同，并且也不全是十進制。一直到秦始皇時才進行統一度量衡的工作，并基本上采用了十進制的度量衡單位。在《考工記》裡，還出現了初步的角度概念。其中以“倨勾”二字表示角，這類似于用“多少”表示數量，用“長短”表示長度。“倨”是鈍角，“勾”是銳角。直角叫做“倨勾中矩”或簡稱“一矩”，等于90°。“宣”相當于45°，“■”相當于67°30′，“柯”相當于101°15′，等等。此外，《考工記》中還提到：築氏為削，“合六而成規”，“削”是圓弧形的刀，六件“削”可以拼成一個圓周；天子之弓，“合九而成規”；諸侯之弓，“合七而成規”。這些都說明對于由矩發展而來的角度概念，已經有了新的認識。公元前六世紀，楚國令尹築沂城，晉國士彌牟設計修建成周城，都測算過城牆的長度、寬度和高度，計算了城牆和溝洫的土石方量、工程期限、所需的人工物料、勞動力往返裡程及需用糧食數量等。如《左傳》記載，“士彌牟營成周，計丈數、揣高卑，度厚薄，仞溝洫，物土方，議遠迩，量事期，計徒庸，慮材用，書糇糧，以令役于諸侯，。由于整個工程計劃周密，分工明确，因而很快完成了築城任務。顯然，這一時期已經掌握了有關簡單幾何形體的體積計算和解決比例分配問題的數學方法。

數學思想的深化

在這一時期，墨家、名家及其他學派，還總結和提煉出許多抽象的數學概念和合乎邏輯的命題，反映了這一時期數學思想的深化和力圖進行理論研究的嘗試。例如，在《墨經》中載有墨家給一些幾何概念所下的比較嚴格的定義：圓，“一中同長也”；平，“同高也”；直，“參也”，用三點共線定義“直”；同長，“以正相盡也”，定義線段相等；中，“同長也”，定義線段中點；方，“柱隅四匝也”⑥定義正方形或矩形。此外，《墨經》中還有關于點、線、面、體及它們之間相互關系的說明。墨經中還提出，“一少于二而多于五，說在建位”，1比2小，但卻比5大，其原因在于數位的不同，這裡顯然指的是位置制記數法。

稍後于墨子的莊子，記述了惠施等人的學說，其中如“至大無外，謂之大一；至小無内，謂之小一”，涉及到無窮的概念，說明名家對于無窮大和無窮小已有較深刻的認識。還記載了辯者公孫龍提出的命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，就是把一根一尺長的木棒，每天截取前一天所剩下的一半，如此下去，永遠也不會取完。這相當于數列，，，趨向于零而不等于零。這個著名的論斷，1212121223n現在講授數列極限時仍然常常被引用。上述比較嚴格的定義，簡單的極限概念和其他數學命題，是在大量感性認識的基礎上總結和抽象出來的理性認識，雖然還比較粗糙，帶有一定的思辨性質，也沒有形成嚴密的邏輯體系，但無疑都是精彩寶貴的數學思想。可惜的是，墨家等學派這種建立定義和命題，重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想和新嘗試，後來沒有得到很好的繼承和發展。中國數學沿着另外一條道路，逐步形成了一套以算法為核心的數學體系。

數學教育

我國數學教育有着悠久的曆史。早在西周時期，數學和數學教育就在一定程度上受到統治階級的重視，并且建立了比較正規的數學教育制度。據《禮記》記載，周朝規定“六年（6歲）教之數與方名，九年教之數目，十年出就外傅（教師），居宿于外，學書計”。《漢書》記載，“八歲入小學，學六甲、五方、書計之事”，說明當時的貴族子弟接受初等教育，從六歲或八歲開始學習數（shǔ）數（shù）和辨認方向，九歲學習幹支紀日法，十歲學習書計，其中的“計”是指一般計算能力的培養，“書計”大緻相當于現在的語文和算術。當時還設有稱為“保氏”的官員，專門負責對貴族子弟進行教育。數學是“六藝”（禮、樂、射、馭、書、數）之一，成為必須學習的一門課程，這門課程包括九項内容，稱為“九數”。在周朝，還沒有專門掌管天文曆法的官員“馮相氏”和“保章氏”，以及掌管财政統計的官員“司會”，軍隊中也有負責武器、糧饷等收支計算的官員“法算”，這些人當然具有相當程度的數學知識。當時還把世代相傳專門負責天文曆法和通曉數學的人，稱為“疇人”也就是早期的天文學家和數學家。周朝衰落以後，“疇人”子弟分散到各諸侯國，私家講學也逐漸興盛起來，對各地區的數學普及和發展，起了一定的推動作用。春秋戰國以後，數學常識為越來越廣泛的人所掌握，“能書會計”（能寫會算）成為介紹和鑒定官員才能的一項重要内容。

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