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無限不循環小數為什麼是無理數

生活 更新时间:2024-11-26 10:32:24

在上篇文章中,我向大家展示了為什麼所有的無限循環小數都可以用分數表示,以及如何将無限循環小數轉化為分數。

這篇文章,我們繼續介紹無限不循環小數與無理數之間的關系。

我們知道,無理數都是無限不循環小數,那麼為什麼是這樣呢?

一、畢達哥拉斯的觀點

古希臘數學家畢達哥拉斯認為萬物都可以用整數或者整數之比表示

整數之比按照現在的數學語言,相當于分數。按照畢達哥拉斯的觀點,數隻有整數和整數之比(分數)這兩種。

不過,後來畢達哥拉斯發現了勾股定理,他的這個觀點很快就迎來了質疑。

二、古希臘人眼中的勾股定理

平時我們對勾股定律的描述是,直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方。不過古希臘人陳述勾股定理用的卻是幾何術語而不是數,描述方式如下:

建立在兩個較小邊上的正方形的面積之和等于建立在最長邊(斜邊,即直角所對的邊)上的正方形的面積。

幾何圖形描述如下:

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)1

正方形ABFG面積 正方形ACKH面積=正方形BCED面積(AB*AB AC*AC=BC*BC)

雖然勾股定理是畢達哥拉斯發現的,但是他沒有留下勾股定理的證明資料,今天我們能夠看到最早關于勾股定理的證明方法,是歐幾裡得在《幾何原本》“第1卷 平面幾何基礎” 命題47中給予的證明,他是通過在上圖的基礎上添加輔助線來證明的。這裡再多說一句,勾股定理的嚴格證明,其實很難。歐幾裡得為了證明勾股定理,在《幾何原本》中足足引用了3條定義、4條公設、5條公理以及用到提前已經證明好的25個命題的結論,才完成了勾股定理的證明。

三、無理數的發現過程

勾股定理被畢達哥拉斯發現之後,畢達哥拉斯學派成員裡就有人提出了一個問題:

如果有一個邊長是一個單位長的正方形,以及最長邊上面積是這個正方形面積2倍的另一個正方形,那麼另一個正方形的邊與這個正方形的邊的比是多少?

這個時候我們還是引用上面那個圖簡單分析一下這個問題,首先我們先畫出這個問題的圖形出來,如下圖所示:

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)2

假設正方形ABFG面積為a*a,最長邊上正方形面積為2a*a,那麼BC邊與AB邊長度的比是多少?

我們來分析一下這個問題,畢達哥拉斯不是提出“萬物都可以用整數或者整數之比表示”,首先我們可以很快排除BC邊的長為整數:

如果我們假設a=1,那麼AB=1,BC*BC=2。我們知道,沒有哪個整數的平方是等于2的,因為1*1=1、2*2=4,1和2之間沒有整數,這樣我們就可以排除BC邊的長為整數。

即然BC邊的長不是整數,那按照畢達哥拉斯“萬物都可以用整數或者整數之比表示”的說法,BC邊就隻可能表示為兩個整數的比。

這時候,就有人提出了一個推理過程:

假設BC的長可以表示為2個整數的比,并且這2個整數沒有除了單位1之外的公因子(如果2個整數之間有除了單位1以外的公因子,我們可以約分掉公因子變成最簡形式,也就是2個整數沒有除了單位1之外的公因子),這2個整數我們命名為b和a,且b的平方正好是a的平方的2倍(b*b=2a*a),這時b就相當于圖上BC邊的長,a就相當于圖上AB邊的長度。

這時我們就能得出一個結論:b*b一定是偶數,且是4的倍數。那麼為什麼呢?下面我們給予證明:

我們已經假設a、b是整數,b*b=2a*a,那麼b*b肯定是偶數。又b*b是兩個相同的整數相乘,且還是偶數,那麼b*b最小數值是4。(整數中最小的數值是1、第二小的是2,而1*1=1是奇數與b*b是偶數不符,2*2=4與b*b是偶數符合,所以b*b的最小數值是4),這時我們就能得出b*b是4的倍數。

這時我們再畫一個圖形,如下圖所示,取BC中點H,以BH為邊作一個正方形BHOI。在這裡我們設BH的長度為c,那麼BC=2BH,也就是b=2c。

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)3

BC邊長=b,BH邊長=c,b=2c

上面我們已經證明了b*b是4的倍數,那麼b肯定是偶數。又b=2c,b是偶數,那麼c肯定是一個整數。

接下來我們繼續

因為b=2c,那麼b*b=2c*2c=4c*c

又因為b*b=2a*a,所以a*a=2c*c

之前我們通過b*b=2a*a證明了b*b的值是4的倍數,同理我們也可以通過a*a=2c*c得出a*a的值也是4的倍數。

接下來就是見證奇迹的時候了:

因為b*b與a*a都是4的倍數,那麼b和a肯定都是偶數,那麼b和a之間肯定有公因子2。

那麼問題就來了,b和a有公因子2,與我們開始的假設"b與a之間沒有除了1以外的公因子"矛盾。而b和a之間有公因子2,我們是依據假設和勾股定理推倒出來的。這就隻能說明一個問題,要麼是假設錯了、要麼就是勾股定理是錯的,還有就是假設和勾股定理都是錯的。

既然畢達哥拉斯已經證明了勾股定理是對的,那麼就隻有一種可能,假設錯了,也就是BC邊的長無法用2個整數的比表示。加上之前我們證明了BC邊的長不是整數,這時我們又可以得出結論:畢達哥拉斯有關"萬物都可以用整數或者整數之比表示"的結論是錯的。你看,BC的邊長就既不是整數,也不能用整數之比來表示。

類似BC的長度這類無法用整數和整數之比來表示的數,後來人們把這類數稱為"無理性的數",也就是無理數

四、為什麼無理數都是無限不循環小數?

我們知道所有的數用小數來區分,隻有兩種:無限循環小數與無限不循環小數。在上篇文章中,我們已經證明了所有的無限循環小數都可以用分數(整數之比)表示,而無理數無法用整數之比(分數)表示,所以無理數隻可能是無限不循環小數。

五、為什麼無限循環小數都能用分數表示

在上高中的時候,我們都學過等比數列的求和公式:

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)4

這個公式的推導過程其實很簡單,運用的是錯位相減法;

當q≠1時,

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)5

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)6

所以,兩式相減,可得:

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)7

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)8

下面我用0.999…與0.67336733…進行舉例:

1、如何将0.999…轉化為分數?

首先0.999…可以看成:

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)9

為了用上等比數列的求和公式,我們需要将上述式子向等比數列的表達形式靠齊:

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)10

将上述式子和等比數列求和公式進行比較:

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)4

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)12

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)13

當n趨向于無窮大時,

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)14

,于是:

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)15

2、如何将0.673367336733…轉化為分數?

其實方法和上面是一樣的,為了用上等比數列的求和公式,可以将0.673367336733…看成:

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)16

将上述式子和等比數列求和公式進行比較:

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)4

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)18

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)19

當n趨向于無窮大時,

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)20

,于是:

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)21

将上述式子繼續簡化,可得:

無限不循環小數為什麼是無理數(為什麼無理數都是無限不循環小數)22

其它的無限循環小數,轉化為分數的過程和上述步驟其實是一樣的,這裡我就不再舉例。

好了,這一講就到這裡了。

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