漫談自然數的倒數和

自然數的倒數和,從吃貨開始:

1.小明愛吃火腿腸,假設每天他有一根火腿腸,第一天他獨享一根火腿腸,但從第二天開始,以後的每天他都會多一個朋友和他分享, 若每天按人數均分火腿腸請問他在以後的日子裡,累計吃到的火腿腸會有10根之多嗎?

到底能不能達到呢?乍一看是不行,因為小明平分到的火腿腸越來越少,最後趨近于0,怎麼會達到10根呢?你覺得呢?是不是達到兩根都懸?

好吧,我們來分析一下:

達到兩根還是容易呢!因為小明第一天就吃了一根了,第二天會有半根,第三天會有1/3根,第四天會有1/4根,你看這時他吃了多少?

1 1/2 1/3 1/4=25/12,是不是大于2了?

那麼他能不能吃到的總和多于3塊呢?

如果一個數一個數地往後硬算,會很麻煩是不是?那麼怎麼來解決這個問題呢?事實上,數學家的思維不是一個個地累加,而是用估計的方式來完成就行了:

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 … 1/16=1 (1/2) (1/3 1/4) (1/5 1/6 1/7 1/8) (1/9 1/10 … 1/16)

>1 (1/2) (1/4)×2 (1/8)×4 (1/16)×8=3,

也就是說,至多到第16天,小明累計吃到的火腿腸就會超過3根.

那麼按此算法,小明累計吃到了10根火腿腸的天數就不難得出:

把原數列的和:

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …

其項數由結合律進行分組:1 1 2 4 8 16 … m,則必有

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …>1 m/2,

要求1 M/2>10,隻要m>18,即可,那就是說要達18個括号分組,那究竟至多是第幾項呢?

這樣來算:

=524 288,

哇!50萬項之後呢?實際上,也可以對2的19次方進行如下估計:

如果沒有計算器的話,還是下面的估計快些.

注意,這裡是至多喲,因為是估算,說不定前面的某項已經達到了呢.那麼我們能不能找到一個辦法精确地算出是第幾項呢?

這個可是因難呢,可以說到目前為止,也沒有很好的辦法達到精确的估計,不過有我們可以對這個問題的一般情形,可以找到較為精确的估計:

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …

通過繪制y=ln(1 x)和y=x的圖象,不難發現x>ln(1 x)

則有

S=1 1/2 1/3 … 1/n

>ln(1 1) ln(1 1/2) ln(1 1/3) ... ln(1 1/n)

=ln2 ln3/2 ln4/3 ... ln((n 1)/n)

=ln(2*3/2*4/4*...(n 1)/n)=ln(1 n),

實際上,還可以證明:

S=1 1/2 1/3 … 1/n<lnn 1,

可以看出,

ln(n 1)<1 1/2 1/3 … 1/n <lnn 1,

那就是說1 1/2 1/3 … 1/n與lnn接近,兩者會不會有差别,差别有多大呢?

Euler第一個證明,即使n充分大,兩者也不會相等,會差着一個常數C,這個常數是

C=0.57721566490153286060651209......

吊詭的是,直到今天,人們還沒有弄清這個Euler常數C是什麼樣的數?它是無理數還是有理數不清楚(一般傾向認為C是無理數),更遑論代數數及超越數的判定了!

目前尚不知道歐拉常數是否為有理數，但是分析表明如果它是一個有理數，那麼它的分母位數将超過10的242080次方.

上述問題被稱為調和數列的求和,由此派生出來的Euler常數,在高等數學中甚有作用.

看下一個問題:

2.小紅愛吃披薩餅,第一天她獨享一隻披薩,但以後每天來的人按天數的平方遞增(即第n天來了n×n人), 若每天按人數均分披薩,問小紅累計吃到的披薩會超過兩隻嗎?

乍看一下,好象可以用調和數列求和的方法來解決小紅的問題,果真是這樣嗎?

小紅獲得的蛋糕:

1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) … 1/(n×n) …> 1 [1/(2×2) 1/(3×3)] [1/(4×4) [1/(8×8)] …

我們立即發現,中括号内的項分母是不連續,無法象上面一樣進行放縮估計,所以是行不通的!

實際上,我們嘗試一下逐項計算:

記S(n)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) … 1/(n×n),

則有

S(1)=1,S(2)= 1 1/(2×2)=5/4=1.25,S(3)= 1 1/(2×2) 1/(3×3) =49/36≈1.36,S(4)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4)≈1.42,

S(5)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) 1/(5×5)≈1.46,

什麼感覺,好象是越往後增加的越慢,是不是?這說明,這個數列的和可能是有界的!

事實果真如此:

S(n)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) … 1/(n×n)

<1 1/(1×2) 1/(2×3) 1/(3×4) … 1/[(n-1)×n]

=1 (1-1/2) (1/2-1/3) (1/3-1/4) … [1/(n-1)-1/n]

=2-1/n,

顯然,無論n如何,2-1/n總小于2,那麼可以看出,按這樣的分法,小紅永遠吃到的披薩都不會多于兩塊!

問題來了,既然這裡的S(n)=1 1/(2×2) 1/(3×3) 1/(4×4) … 1/(n×n),單調有界,那麼它必有極限,它的極限是多少呢?

事實上,我們可以通過級數或二重積分證明,這個極限值是

猜一猜這個發現是誰最先給出的?

猜到了嗎,就是上面提到的那人大名鼎鼎的Euler,真是神一樣的Euler!

平方倒數求和最早出現于17世紀意大利數學家蒙哥利(Mengoli P,1626一1686）的《算術求和新法》（1650).

無窮級數

是書中所論形數倒數求和問題中的一個特殊情形。

在發表于19年的論文“具有有限和的無窮級數的算術命題”中，瑞士著名數學家雅各．伯努利(Jacob.Bernoulli，1654一1705）部分重複了蒙哥利的無窮級數工作，在論文最後，伯努利稱，盡管級數

的求和問題易如反掌，但奇怪的是，ζ（2）的和卻難以求出．他說:”如果有誰解決了這個迄今讓我們束手無策的唯題，并告知我們，我們将十分感激他．”

實際上，當時歐洲的一流數學家，如約翰．伯努利(Bernoulli J,1667-1748）及其子丹尼爾．伯努利(Bernoulli D,1700-1782）、哥德巴赫（Goldbach C 1690-1764）、萊布尼茨（Leibniz G W，1646-1716）、棣莫佛（Moivre A De，1667-1754）、斯特林(Stirling J,1692-1770）等都未能成功解決這一難題，其中哥德巴赫在與丹尼爾的通信（1729）中給出和的上、下限1．644和1．645；斯特林在其《微分法》中給出近似值

1.644934066.

瑞士大數學家歐拉(Euler L，1707-1783〕最早于1735年解決了這個所謂的“巴塞爾難題”，這是他年輕時期最著名的成果之一．但證明不是很完善,及至後來二重積分及級數的發展,才最終完善了這個極限的證明.

由于π是超越數(林德曼定理),故ζ(2)也是超越數.

再提一個問題:

3.小英愛吃蛋糕, 第一天她獨享一隻蛋糕,但以後每天來的人按天數的立方遞增(即第n天來了n×n×n人),若每天按人數均分蛋糕,問小紅累計吃到的披薩會超過一隻嗎?

乍看一下,這個問題也第二個問題相同,但有沒有不同的的地方呢?

小英獲得的蛋糕:

按上述第二種思路,證明數列:

單調有界沒有問題,存在極限也是顯然的,隻是至今為止,我們并不知道這個極限的精确表達式,是不是與已知的超越數,比如π,e,甚至C有關,現在統統不知道!

這個問題的解決,估計非常困難!

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