本文為“第三屆數學文化征文比賽

《走近楊輝 揭秘三角》課堂實錄

作者: 何萍

作品編号：057

一、溫故知新

師：同學們，我們一起回憶前面學習過的多項式與多項式相乘運算法則。

生（全體）：多項式與多項式相乘：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。（PPT顯示）

師：同學們剛才回答了多項式與多項式相乘運算法則的文字語言描述，我們初中階段注重文字語言、圖形語言以及符号語言三種語言的表述，所以它對應的符号語言是什麼呢？

生（全體）：(a b)(m n)=am an bm bn（PPT顯示）

師：學習多項式與多項式相乘運算法則之後，我們學習了哪些特殊的公式呢？

生1：完全平方公式

生2：平方差公式。

師：這兩類公式非常重要，同學們能否用符号語言表述完全平方公式呢？

生（全體）：。

【設計意圖】複習多項式乘以多項式運算法則的基礎上，引導學生計算(a b)的高次幂，為提取展開式系數做好鋪墊。

二、新知探究

活動一：

師：上課前請同學們完成了預習學案，接下來我們一起校對。

（投影學生作品）投影學案内容：

1.利用整式的乘法公式計算（結果依照a的次數從大到小的順序排列）

師：第一道題要求同學們按照a的降幂排列，寫出、、、（a b≠0）的展開式。

學生完成習題結果：

投影學案内容：

2.按行寫出上題中各項展開式系數。

第1行：1

第2行：1 1

第3行：1 2 1

第4行：1 3 3 1

第5行：1 4 6 4 1

第6行：1 5 10 10 5 1

第7行：1 6 15 20 15 6 1

師：同學們完成得很棒！我們把完成的展開式系數填入下表中。

PPT顯示：

師：我們給這些展開式系數拍合影，大合照變換隊形。

PPT顯示：

師：像這樣的數字形成的圖形像什麼圖形呢？

生（全體）：三角形、等腰三角形。

師：非常好，這些數字組成的圖形是三角形，我們稱這個三角形系數表為楊輝三角。

【設計意圖】通過學生自主演算，實踐操作得出展開式系數，将展開式系數變換隊形後，正好形成三角形系數表，從“形”的角度，揭示楊輝三角的第一層面紗。

活動二：

師：同學們，能否繼續寫出、、、...、的展開式系數？

生1：可以！我們可以繼續利用多項式與多項式相乘運算法則運算。

師：同學們，以往解決含n的題型，如何解決？

生2：根據題目已有較簡單的情況，逐步推導，寫出規律，總結歸納規律，寫出第n種情況。

師：說的真好！所以我們求的展開式系數是不是可以用類比的方法，根據已有的、、、、、、（a b≠0）的展開式系數，即已有的楊輝三角數據探究規律，從而根據規律得出的展開式系數。

師：接下來請同學們觀察楊輝三角，尋找規律。

（給學生留有充足時間思考、讨論、交流、歸納）

生3：楊輝三角兩條邊都是1。

生4：每個數字都等于頭頂上兩個數字之和。

師：非常好，同學們觀察出楊輝三角最重要、最基礎的規律。

闆演：規律1.兩肩和。

師：同學們，還有什麼規律呢？這個形狀像什麼呢？

生5：三角形！

生6：等腰三角形！

師：很好。這些數字組成的圖形可以看作等腰三角形，等腰三角形的本質是什麼圖形呢？

生7：等腰三角形是軸對稱圖形。

師：真棒！等腰三角形是最典型的軸對稱圖形，:對稱軸呢？

生8：中間一列數字。

師：我們可以發現畫出對稱軸，奇數行中間是數字，偶數行中間是空白，與首末兩端“等距離”的兩個數相等。所以，我們現在從“形”的角度發現楊輝三角第2個規律。

闆演：規律2.對稱性。

師：上面活動中，我們從“數形”兩個角度看楊輝三角數與數之間的關系，那麼把一部分數整體看待呢？比如把楊輝三角各行的數加起來的和，有什麼特征嗎？（給學生留有充足時間演算）

生9：經過計算，發現每行的和與2的高次方有關。比如第二行和為2，第三行和為4，第三行和為8，第四行和為16，第五行和為32，第六行和為64，這些數字正好都是2的次幂。

師：同學回答得非常棒，老師和同學們一起寫出來。

（闆演在黑闆上）

闆演：規律3.。

PPT顯示：

規律之美1：楊輝三角中兩條斜邊都是由數字1組成，每一個數均為肩上兩數之和。

PPT顯示：

規律之美2：與首末兩端“等距離”的兩個數相等，楊輝三角具有對稱性。

PPT顯示：

規律之美3：楊輝三角第n行中n個數之和等于2的n-1次幂。

【設計意圖】突出以學生為主體的課堂模式，引導學生自主觀察楊輝三角形數表，直觀感受數字的規律，學生通過探究從而歸納小結數字之間的關系。從“數”“形”兩個角度分析楊輝三角數表後，引導學生從整體的眼光看待楊輝三角數表，即“橫向”計算楊輝三角數表的和，尋找規律。同時，為後續從“斜向”觀察楊輝三角的規律埋下伏筆。

師：通過以上活動，我們橫着看、豎着看尋找規律，現在我們斜着看，請同學們觀察斜向有沒什麼特征？

生10：左側斜着一串數字加下來，會等于右下方的數字。

生11：對對對！右側斜着一串數字加下來，會等于左下方的數字。

師：同學們發現得真快！

闆演：斜行和。

PPT顯示：

規律之美4：從楊輝三角中一個确定的數的“左（右）肩”出發，向右（左）上方作一條和左斜邊平行的射線，在這條射線上的各數的和等于這個數。

師：從以上這4個規律，不同方向、不同角度看楊輝三角，“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”在楊輝三角中展現得淋漓盡緻，楊輝三角真的太美了！

師：現在老師帶領同學們，一起來繼續感受楊輝三角的魅力。請同學們把老師标記的每個斜行相加，觀察和的特點。

生12：1，1，2，3，5，8，13...

師：看起來雜亂無章的這串數字，有什麼特點呢？

生13：不斷增大。

師：不錯，有沒有更特殊的規律呢？

生14：每個數字都是前兩個數的和。

師：真棒！從第三個數起，任一數都等于前兩個數的和，這是著名的斐波那契數列，即為兔子數列。

闆演：規律5.斐波那契數列。

PPT顯示：

規律之美5：斜看楊輝三角中各數的和，從第三個數起，任一數都等于前兩個數的和。

【設計意圖】斐波那契數列是數學文化史中趣味性很強的代表性範例，值得推廣學習，從而引出斐波那契發現兔子數列的規律。

師：接下來，我們一起來了解有意思的斐波那契數列。

PPT顯示：

中世紀意大利數學家斐波那契的傳世之作《算術之法》中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以後每個月都生一對小兔子．設所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對剛出生的小兔一年内可以繁殖成多少對兔子？（如圖1）

圖1

兔子繁殖問題也可以從楊輝三角得到答案：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．

【設計意圖】通過講解斐波那契數列的來源，引導學生意識到數學來源于生活應用于數學的價值體現。同時，介紹數學家斐波那契熱愛生活，善于觀察生活，并将生活中的現象記錄下來留下寶貴的精神财富，引導學生樹立研究性學習的觀念，滲透數學建模的思想。

師：楊輝三角除了我們發現的這5個規律外，還有一些神秘的規律，有待同學們課後去挖掘，同學們進入高中階段也可以繼續學習。

三、時光列車

師：同學們，我們了解了楊輝三角這麼多内在的規律，發現楊輝三角不僅神秘，而且很美，這麼有趣味性的楊輝三角是誰先發現的呢？它是怎麼發展的呢？讓我們通過微課的形式走進楊輝三角，了解它背後的故事，揭開它神秘的面紗。

微課展示：

（伴随着“高山流水”的背景音樂，楊輝三角的起源及發展的數學史娓娓道來）

首先介紹古代數學家賈憲，中國十一世紀上半葉（北宋）的傑出數學家。曾撰《黃帝九章算法細草》（九卷）和《算法古集》（二卷），都已失傳。據《宋史》記載，賈憲師從數學家楚衍學天文、曆算，著有《黃帝九章算法細草》、《釋鎖算書》等書。賈憲的主要貢獻是創造了“賈憲三角”和“增乘開方法”。

然後介紹本課的主角——古代數學家楊輝，出生于南宋時期，1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了三角形數表，稱之為“開方作法本源”圖（如圖2），并說明此表引自11世紀中葉（約公元1050年）賈憲的《釋鎖算術》，并繪畫了“古法七乘方圖”。楊輝在所著《詳解九章算法》、《開方作法本源》一章中作賈憲開方作法圖，并說明“出釋鎖算書，賈憲用此術”。

圖2

法國著名數學家、物理學家和哲學家帕斯卡，在13歲時（1654年）發現這一規律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的發現比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。帕斯卡在1665年出版《論算術三角形》，談到“算術三角形”的構造和性質，并最早用數學歸納法證明了性質。

意大利數學家塔爾塔利亞的發現比帕斯卡要早100多年，比賈憲晚約500年。

最後引用學生熟知的現代數學家華羅庚的名言作為結束語：“數學是我國人民擅長的學科。我們祖國偉大人民在人類史上有過無比睿智的成績。”

【設計意圖】描述賈憲、楊輝成就的同時，詳細介紹楊輝三角的來龍去脈，并告知今日認知的楊輝三角實際上是賈憲最早發現這一神秘的數學知識，一場美麗的誤會充滿了數學文化的趣味性，激發學生的學習興趣。同時類比引出西方國家有關楊輝三角的史實，充分展現了中國古代數學家的輝煌成就，激發學生的民族自豪感，樹立學好數學知識的信念。

師：同學們，我們通過搭乘時光列車，了解到楊輝三角的起源及發展，感受到我們民族在數學文化長河中取得的巨大成就，我們應該更有信心學好數學，繼承和發揚我們數學的優勢地位！

四、古為今用

師：同學們，楊輝三角如此美妙，它的用途肯定也不僅限于兔子繁殖問題，在生活中常常可以借助楊輝三角解決實際問題，請同學們看下這道題。

“縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題。下圖3是某城市的部分街道圖，縱橫各有三條路，如果從A處走到B處 (隻能由北到南，由西向東)，那麼有多少種不同的走法？

【設計意圖】通過生活中趣味性的問題，引發學生思考、動手操作實踐，集思廣益，學生得出結論。

師：審題完畢後，請同學們思考，你們能得到幾種不同的走法呢？

生1：5種。

生2：6種。

師：好，我請答案為5種的同學到黑闆上來演示，答案6種的同學稍後可以補充答案。

生上台演示。（一個同學演示5種情況後，另一個同學上台補充1種情況）

師：經過兩位同學的實踐操作，我們發現答案是 6。

師：如圖3把圖順時針轉45度變為圖4，使A在正上方，B在正下方，然後在交叉點标上相應的楊輝三角數。B處的楊輝三角數與A到B的走法有什麼關系？

生3：B處所對應的數6，正好是答案 6.

師：同學們想想，這裡面可能隐藏了什麼秘密呢？

生4：每個交點上的楊輝三角數，就是從A到達該點的方法數．

師：太棒了！我們發現原來生活中的路線問題也和楊輝三角有關，這個結論太贊了！

【設計意圖】将生活實際中的路線問題，借助楊輝三角知識解題，自然過渡到本課所學新知，體現楊輝三角的應用價值。

變式：“縱橫路線圖”是數學中的一類有趣的問題。下圖5是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處 (隻能由北到南，由西向東)，那麼有多少種不同的走法？

師：我們将題目中的三條路變為五條路，同學們可以課後試試。老師用楊輝三角嘗試演示給同學們看，我們發現有70種。

師：原來，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯系，由此可見，楊輝三角在生活中無處不在，利用價值相當高。

【設計意圖】變式題利用同樣的方法，将路線圖轉化為圖6，借助楊輝三角圖7。借助學生外出旅遊的經曆，激發學生對本問題的興趣，開動腦筋思考答案，動手操作得出結論。

五、提升思考

師：楊輝三角是不是純粹欣賞，在考試中，是不是不會出現楊輝三角的考題呢？現在的中考高喜歡帶上數學家一起來湊熱鬧，所以楊輝三角也是中高考試題的貴賓常客。接下來請同學們賞析這道中考題：

（2006年中考日照市卷第17題）德國數學家萊布尼茨發現了下面的單位分數三角形（單位分數是分子為1，分母為正整數的分數）：

根據前5行的規律，可以知道第6行的數依次是： ．

師：同學們，看到這道題第一感受、反應是什麼？

生1：楊輝三角，形狀很像。

師：真棒！長相有點像是嗎？我們一起看看這個數表的内在，每個數一樣嗎？

生2：數字的個數一樣，但是每個數字不同。

師：非常好，隻要類似，我們就可以用類比的方法解決它。我們現在要找到相同和不同之處，同學們有什麼發現嗎？

生3：數字都變成分數了，分子都為1.

師：既然都是1，我們可以怎麼辦？

生4：都把1先去掉。

師：很好！然後數字就一樣了嗎？

生5：分母好像有規律，有對稱性。

師：然後呢？

生6：可以看作是變形的楊輝三角。

師：怎麼變？

生7：去掉分子1後，分母的數字每行開頭是1，2，3，4，5，而楊輝三角每行開頭是1，1，1，1，1.

師：我們可以怎麼處理？

生8：可以每行除以行數。

師：太棒了！

PPT顯示：

師：通過這兩個步驟的變形，得到熟悉的楊輝三角。根據今天所學的規律，可以得到第6行數字是什麼？

生：楊輝三角第六行數字為1，5，10，10，5，1，然後乘以行數，變為6，30，60，60，30，6，再分别把每個數取倒數。

【設計意圖】借助本題引導學生認識楊輝三角在考試中可能出現的形式，同時引導學生掌握類比的思想和轉化的方法。幫助學生先觀察題中的單位分數三角形，逐步引導尋找單位分數三角形與楊輝三角的不同之處，層層遞進，深入剖析，找出規律，借助楊輝三角的知識解決本題。

六、課堂總結

師：同學們，今天我們通過楊輝三角故事的品讀，感受到楊輝三角内在的奧秘，體會到數學文化的趣味性，欣賞數學文化的美妙之處，并深深被數學文化的魅力所折服。同學們帶着民族自豪感，闊步前行，繼續探索數學的奧秘！

七、作業設計

1.查閱《楊輝三角》相關資料。

2.複習鞏固《楊輝三角》的規律。

八、闆書設計

相關鍊接>>

相聚于網絡，相知因數學，相交為征文——第三屆數學文化征文活動通知

第三屆數學文化征文比賽評委簡介

第二屆數學文化征文比賽通知

第一屆數學文化征文活動文章集錦

已發文章>>

001 萊布尼茨、二進制和伏羲卦圖

002 美學視角下的數學教學 —— 讀《數學的美與理》有感

003 數學基礎與黎曼猜想 ——《數學簡史：确定性的消失》讀後思考

004 數學與文化并重 知識與興趣同行 ——“算籌記數”教學思考

005 數學是多維度的藝術——讀《數學家的眼光》有感

006 從擲骰子到阿爾法狗：趣談概率

007 中學數學中分類思想的教學與拓展

008 守門的秘密

009 探數學文化，啟數學之美——以高中數學《割圓術》為例

010 基于數學史視角的高中數學教學思考

011 我是怎樣讀《幾何原本》的

012 相映成趣的兩座數學橋

013 HPM視角下的數學概念教學——“平面直角坐标系”教學設計

014 極限定義新講：動态定義與靜态定義

015 把握思想方法，自主提升數學素養 ——讀《讓知識自然生長》有感

016 讀北大張順燕教授《數學的源與流》的幾點收獲

017 中國古代數學對“一帶一路”沿線國家的影響

018 數學閱讀錦上添花，實踐成果領航數壇新征程

019 提高概率教學質量的幾點思考

020 溫故建構新知 論證生成巧思 ——三角形的中位線定理的探究

021 讀《學好數學并不難》有感

022 體驗經典證法 滲透數學文化 ——以“勾股定理（第一課時）”教學為例

023 數學文化 文化數學 ——融合數學文化的中考試題的品析與啟示

024 善用數學文化 靈動數學課堂 優化育人途徑

025 基于數學文化的高中數學教學的實踐與研究

026 數學中的美—— 讀《數學文化中的美育滲透》有感

027 利用“去分母”解一元一次方程教學設計

028 海倫公式

029 《鏡花緣》中的數學“緣”

030 基于認知發展的數學理解教學 ——讀《數學教學心理學》所思所行

031 做一位有文化的數學教師 ——讀《數學教育中的數學文化》所感

032 向下紮根，追尋成長

033 運用讀思達進行中考文化類試題解題策略研究 ——以2021福建、北京中考試題為例

034 2021年中考中的傳統文化試題

035 數學文化閱讀課——《圓周率的曆史》

036 小學低年段課堂中滲透數學文化的思考 ——讀張齊華老師《用文化潤澤數學課堂》有感

037 五光十色的數學之《數學及其曆史》觀後有感

038 小折紙，有大曆史 ——可以寫入教材的“一刀剪”最大精确五角星折法

039 新高考改革背景下數學文化情境試題的考查研究 ——兼評2020年高考數學文化試題

040 淺談《怎樣解題》對教學的指導

041 如何讓數學文化浸潤常态化課堂教學——讀顧亞龍《以文“化”人》專著有感

042 中學教材和中考命題中的數學文化探析

043 在初中數學教學中滲透民族文化自信

044 初中數學教學中數學文化的滲透策略

045 第二章 探索圖形的規律——火柴棍裡的數學文化課堂實錄

046 淺談數學文化在小學數學課堂教學中的滲透

047 核心素養視角下數學活動的實施策略探究

048 基于數學史視角的初中數學教學思考——讀《數學文化漫談》有感

049 讀《張奠宙數學教育随想集》有感

050 讀浙大蔡天新教授《數學傳奇》有感

051 HPM視野下《一元二次方程概念》教學實錄與設計分析

052 探尋單位“1”下的直觀模型 ——讀《度量：一首獻給數學的情歌》有感

053 數是現實與想象的結合 ——讀《度量：一首獻給數學的情歌》的想象

054 基于數學之美的小學數學命題設計

055 “将軍飲馬”問題的前世今生

056 一次“數學文化”答題活動的題目設計

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