布爾巴基建立之初的意圖僅僅是寫一本新的分析學教材，但他們很快就開始“雄心勃勃”起來，因為他們要為“分析學”的寫作提供集合論等基礎學科的“預備知識”甚至“相關知識”，但這樣一來，書的覆蓋面就像滾雪球一般越滾越大。誰也沒有料到，迄今為止他們已經出版了三十多卷。為什麼他們的事業在上世紀六七十年代前越做越大？

理由是這批現已在數學史上留下盛名的青年人一開始就有鴻鹄之志。兩千年前，古希臘數學家歐幾裡得集前人幾何成就之大成，一舉寫出《幾何原本》(The Elements)，用幾乎處處無懈可擊的公理體系，嚴密推理出幾百個幾何和算術定理，吹響了導緻西方現代文明理性思維的号角之聲，成為印刷版次數目僅次于《聖經》的不朽作品。

圖1 歐幾裡得

到了上世紀三十年代，經過布爾巴基人一次次會議的來回争執和熱烈讨論，大家一緻認為，現代數學的教科書跟不上現代數學前進的步伐，尤其在飽受世界大戰重創的法國，缺少統一的數學觀，即他們所認定的“數學取決于結構”的哲學理念。他們要把該信條作為寫作原則，把數學看成有機整體，而非各個分支的碎片組合，重新構建數學的大廈。因此，他們撇開隻寫出一本基于微積分思路的現代分析教科書的最初想法，決定集體寫出一部與衆不同、體現當代數學“結構主義”思想，充滿法國文學風格的恢弘大作。

于是，他們模仿歐幾裡得，将書名取為《數學原本》(Elements of Mathematics) ，希望成為二十世紀的歐幾裡得，引領國際現代數學教育之潮流。65年後，上世紀結束，他們的目标實現得很不錯。據2006年美國數學會翻譯出版的 Bourbaki: A Secret Society of Mathematicians（《布爾巴基：數學家的一個秘密團體》）一書中的記載，在法文原著出版之時，已出版的書是：1.《集合論》，2. 《代數》，3. 《一般拓撲學》，4. 《單實變量函數》，5. 《拓撲向量空間》，6. 《積分學》，7. 《交換代數》，8. 《微分和解析簇》，9. 《李群和李代數》，10. 《譜理論》。其中幾乎每種書都有好幾卷。

圖2 《數學原本》第一卷，集合論（1970版）| Wikipedia

這些書的寫作過程有點像中國五十年前革命現代京劇的創作：精益求精，百煉成鋼。它們都是“革新”的産物，一個屬于藝術，一個屬于科學，但異途同歸于同樣的哲學思辨。在布爾巴基集體看來，範·德·瓦爾登的《代數學》是數學寫作的典範，于是決定每個章節寫出像它那樣的風格。但是範·德·瓦爾登寫書的依據是諾特 (Emmy Noether，1882-1935) 和阿廷 (Emil Artin，1898-1962) 的講義，他不必受到别人七嘴八舌的幹擾，而以一己之力獨自完成那本傑作。（參看《一百年前，她成為德國曆史上第一位女性數學講師》）

布爾巴基就不同了，他們是“寫作班子”。每本書動筆之前，大家在會上讨論怎麼寫，寫哪些，以及材料布局的先後次序，等等，都要由衆人各抒己見，出謀劃策，任何成員都像聯合國常任理事國那樣擁有否決權，隻有一緻同意後才決定開寫。這時一位志願者接下任務，由他無拘無束地按照大家定下的模糊計劃寫出初稿。一兩年後，初稿在布爾巴基會議上宣讀。在“審稿”會上，他們如同遵循美國傑出數學家費德勒 (Herbert Federer，1920-2010) 關于修改自己數學作品的忠告“好像你是作者最兇惡的敵人”似的，對初稿百般挑剔，無情批判，結果是一部稿子體無完膚地落荒而去，于是再寫第二稿，甚至第三稿第四稿，乃至第六、第七、第八稿。讀者最後看到的出版物，就是這樣千錘百煉後出爐的産品。

前已所述，布爾巴基人信奉“結構主義”思想。他們認為數學研究的是結構：代數結構、拓撲結構和序結構。代數結構關心的是代數運算，拓撲結構與“連續”的概念有關，是分析學研究的對象，而序結構像實數那樣考慮的是大小關系。布爾巴基所寫的幾十卷書全是遵循結構主義思想的結晶，這些精心打造的著作，注重理論概念的結構分析，對不同結構分門别類，全書材料經過整理歸納，各就各位，論題所在位置恰到好處，具有嚴密的邏輯性，對同時代及後世的數學家及學生影響極大。從歐洲到亞洲，從北美洲到南美洲，許多數學家長大成人的養分就是一部接着一部的布爾巴基大書！

作為一個數學團體，雖然是“半秘密”性的，布爾巴基有自己公開的數學活動。自從1935年7月曆時一周的第一次全體會議開始，直到1939年，這樣的會每年一次。第二次世界大戰爆發後，會員無法聚會，但零星聯系依然存在，大戰結束後又恢複了所有活動。直到1948年美國洛克菲勒基金會開始提供資助前，布爾巴基的成員都是自掏腰包參加活動，充分說明他們對數學的無比熱愛。

不像正式的數學團體，布爾巴基也沒有什麼“學會章程”之類的繁文褥節。它的正式成員制度，體現了“數學是年輕人的事業”這一信條，“到了50歲必須退出”是一項不成文的規定。年輕的數學人想參加活動，悉聽尊便，但要想成為新成員，必須有經得起布爾巴基讨論數學時燃起的熊熊烈火炙烤的心理準備，而且要有添加燃料讓火燒得更旺的激情才行。那些坐在一旁洗耳恭聽沉默不語的膽小人物或對數學不太活躍的落後分子，多半不會再被邀請參加活動。多年來，布爾巴基的正式成員一般維持在一打左右。

法國和蘇聯數學界都有讨論班的傳統，法國有阿達馬的讨論班和朱利亞 (Gaston M. Julia，1893-1978) 的讨論班，蘇聯有柯爾莫哥洛夫 (Andrey Kolmogorov，1903-1987)的讨論班和蓋爾範德 (Israil Gelfand，1913-2009) 的讨論班。從1948年起，布爾巴基開始舉辦讨論班，每年2、6、11月共三次在周末舉行，每次五個邀請報告，約有200人參加。報告的内容都是數學各方面的最新結果，最後結集出版。今年最後的一次布爾巴基讨論班，報告的内容有北京國際數學研究中心博士後韋東奕與合作者的成果。

通過幾十卷數學著作的出版，布爾巴基成了上世紀影響力最大的數學學派之一，其聲譽在六七十年代達到頂峰。

韋伊一開始就鎖定了巴黎的出版社Hermann同他們攜手同進。編輯Enrique Freymann早先就出版過謝瓦萊和韋伊為紀念英年早逝的一位傑出邏輯學家而編輯的一本論文集，後來為布爾巴基叢書的大賣立下汗馬之功。事實上，謝瓦萊甚至宣稱這位出版人很早就鼓勵他們兩人寫出分析教程以取代古爾薩。盡管有冒險的可能，Freymann一開始就以極大的熱情支持布爾巴基的事業。對他至死不渝地全力相助，布爾巴基深受感動，将1954年出版的《集合論》第一卷獻給了校對清樣時不幸去世的他。

布爾巴基的數學觀與現代數學三大學派之一的形式主義學派相一緻，他們是德國人希爾伯特的門徒，而不是法國人龐加萊的接棒者。公理體系與抽象的結構主義是他們幾十年如一日揮舞的兩面旗幟。他們信奉的是：數學的統一性，公理方法，以及結構的研究。這在他們于1947年以尼古拉·布爾巴基署名的文章《數學的結構》中有進一步的闡述。他們所撰的數學書，将現代純粹數學大廈的中央大廳、磚瓦結構、門窗走廊、天花闆面、懸梁屋檐等建築要素一一展示，有機結合，極富數學建築之美。精工細作的寫作态度使得幾乎每本都是登峰造極之作，再加上出版商的通力合作，在數學家與出版社直到七十年代為止的蜜月期間，《數學原本》各卷出版後的銷售蒸蒸日上，不僅衆多的數學工作者購買，而且全世界的圖書館也要館藏一本，在很長一段時間内成了出版社的主要利潤來源。

圖3 左為希爾伯特，右為龐加萊 | Wikipedia

然而，如果以為布爾巴基的主要成就僅僅隻是十來種30多卷的大書，那就大錯特錯了。布爾巴基的成員，無論是奠基者還是中生代，甚至年輕一代，許多都是頂級的數學家，其中名氣最大的大概就是韋伊了，他是上個世紀全世界幾個最偉大的數學家之一，在代數數論和代數幾何領域的深刻工作影響深遠。同是奠基者的迪厄多内，是這個數學圈子的主要寫手，一生在多個領域勤奮耕作，著作等身，晚年還寫出泛函分析等學科的數學史。他自己的一本書《現代分析基礎》(Foundations of Modern Analysis)，七十年代末被南京大學數學系選為研究生的教材，而那時我班兩位醉心純粹數學的同學——田剛和王宏玉——則旁聽了這門課，按照授課老師之一的蘇維宜教授所述，他們兩人的考試成績全班最高。可見布爾巴基及其成員對遠在東方的年輕學子也産生了持續終生的影響。

幾乎所有的法國菲爾茲獎獲得者都是布爾巴基後來的成員，如施瓦爾茲 (Laurent Schwartz，1915-2002) 、塞爾 (Jean-Pierre Serre，1926-) 、格羅騰迪克以及英年早逝的動力系統大家約科茲 (Jean-Cristophe Yaccoz，1957-2016) 。在分形領域做出傑出貢獻的德奧迪 (Adrien Douady，1925-2006) 也在其中。早期的成員中，唯一的外國人艾倫伯格 (Samuel Eilenberg，1913-1998) 來自波蘭，後來長期在美國。他和美國數學家麥克萊恩 (Saunders MacLane，1909-2005) 創造的範疇論，現在是理論物理學界炙手可熱的數學工具。

布爾巴基不僅以它的數學與寫作影響了全世界，風行了幾十年，而且創造了一些數學概念和符号，其中許多“一夜成名”，比如原創法文的filtre和英文翻譯filter。最有名的例子就是空集的符号Ø，它由韋伊所獨創。現已廣泛使用的三個函數術語“單射” (injection) 、“滿射” (surjection) 及“雙射” (bijection) ，也是布爾巴基的發明。

作為數學家群體的布爾巴基，其影響力也進入了藝術界，對結構主義的藝術流派有一定的影響。但是，它對初等數學教育的影響卻導緻了七十年代轟轟烈烈的“新數學”運動的誕生。“新數學”要打倒歐幾裡得，要把“集合論”請進中小學的課堂。然而，這個影響卻是負面的，因為“新數學”的實踐結果幾乎是一場災難。旅居美國在約翰斯·霍普金斯大學教書的日本數學家小平邦彥 (1915-1997) 目睹自己的女兒成了這場試驗的犧牲品，在他的《惰者集》一書中對“新數學”大加鞭撻！

圖4 《惰者集》

從曆史的角度看，布爾巴基對整個數學貢獻巨大，影響了幾代數學家。但是，它的數學觀和哲學思想也一直飽受批評。其中最激烈的讨伐者大概非俄羅斯數學家阿諾德 (Vladimir Arnold，1937-2010) 莫屬。就數學哲學而言，阿諾德是龐加萊的信徒，而不是希爾伯特的粉絲，當然這不妨礙他解決了後者的“23個問題”中的一個。這位柯爾莫哥洛夫的傑出弟子個性獨特，言語鋒利，批評起來不留情面。我在他的一篇文章中讀到，他面試一位求職的法國數學家，後者的專業是線性代數，卻答不出“二次型xy的符号差為幾”這個簡單問題。這名法國教授也許讀了太多的布爾巴基著作，過分重視“一般性”而忽略了“具體性”，而這正是阿諾德所最反對的。阿諾德大概最欣賞一句名言——“藝術源于生活，但高于生活”。他認為數學是現實世界的反映，而不是先有數學結構再将之套用到現實世界中去。他自己的一句名言是：“數學是物理的一部分。”

這也從另一個方面驗證了布爾巴基的缺陷：太注重純粹數學而忽視應用數學，比如現在特别熱門的統計學就不在他們撰著的考慮範圍之内。這也是許多數學家批評的另一方面。具有諷刺意義的是，布爾巴基最年長的創始人芒德布羅伊的侄子芒德布羅，卻是反對布爾巴基的急先鋒。30歲不到時，他甚至逃離祖國而去了美國，六十年代在那裡開創了布爾巴基大概不甚欣賞的分形幾何學。

今天，距離布爾巴基第一次工作會議的日子已經過去85年了。它的成長史和興衰史，它對世界數學的不朽功勳和消極影響，都對中國數學界有啟示作用。現代數學的發展和應用，應該是牛頓-龐加萊與哈代-希爾伯特的對立統一，應該是具體與抽象的相輔相成，應該是應用與理論的有機結合。這大概是中國數學努力趕超世界先進水平的一條可行之路吧。

注：本文轉自公衆号“中國數學會”

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