抛物線背景下動點與線段的關系

在幾何意義下，點與線段的位置關系有兩種，點在線段上和點在線段外，有别于點與直線的位置關系，線段有兩個端點，因此點在線段上，說明點在線段所在直線上，且位于兩個端點之間。

在函數背景下，點可以用坐标表示，線段則作為一次函數圖象的一部分，可以理解成自變量範圍有限制的一次函數圖象。

上述知識結合起來，也就成了宜昌市往年壓軸題的常見構造，動點、含參抛物線、位置等要素的綜合。

學生在解此類題目的時候，隻要堅定信心，按常規思路一步步走下去，基本功紮實，完成解答并不困難。

題目

如圖，已知：點P是直線y=x-3上的一點，其橫坐标為m，抛物線y=x² 2mx-2m 1的頂點為M.

(1)當點P在直線y=x-3上運動時，抛物線始終經過一定點N，求點N的坐标，判斷N是否為點M的最高點；

(2)若點P沿直線y=x-3向上運動時，點M也向上運動，此時直線y=x-3與抛物線y=x² 2mx-2m 1有兩個交點A，B(A，B可以重合)，A，B兩點到y軸的距離之和為d.

①求m的取值範圍；②求d的最小值；

(3)連接PM，當直線PM與抛物線y=x² 2mx-2m 1的另一個交點在線段PM上時，求m的取值範圍.

解析：

(1)所謂定點，是相對于參數m而言，即無論自變量x取何值，y都等于一個定值，與m無關。因此要想y的取值與m無關，則需要将解析式中含m的項結合起來，觀察m的系數，令其為零，可求得定點坐标。

将解析式變形為y=x² 2m(x-1) 1，當x-1=0時，與m無關，所以x=1時，y=2，即點N(1,2)；

我們将解析式化為頂點式，y=(x m)²-m²-2m 1，可得點M坐标為(-m,-m²-2m 1)，它的縱坐标用配方法化為-(m 1)² 2，即當m=-1時，取最大值2，此時點M坐标為(1,2)，所以點N恰為點M的最高點；

(2)解讀“點P沿直線y=x-3向上運動，點M也向上運動”，點P的橫坐标是m，向上運動，意味着m-3增大，即m增大時，點M的縱坐标也增大，前一問中我們知道點M的縱坐标是-m²-2m 1，我們将它配方為-(m 1)² 2，視為二次函數時，由圖象可知，m<-1時，它增大，因此這就是參數m的取值範圍；

①将直線與抛物線聯立得方程x-3=x² 2mx-2m 1，整理得x² (2m-1)x-2m 4，其中△=(2m-1)²-4(-2m 4)=(2m 1)²-16≥0，可知2m 1≥4或2m 1≤-4，分别解得m≥1.5或m≤-2.5，結合前面所得m的取值範圍，得m≤-2.5；

②交點A，B到y軸的距離之和d，需要明确這兩個交點的橫坐标，由于前面的聯立方程含參，無法求解，所以多數學生在此處陷入困惑。

解決困惑的方法是先判斷兩根的符号，這可利用韋達定理，設兩根分别為a，b，則a b=1-2m，ab=-2m 4，仍然考慮m的取值範圍m<-1，所以可得a b>0，ab>0，可知a和b均為正數，因此d=a b=1-2m，而在前一小問中，m≤-2.5，所以當m=-2.5時，d最小值為6；

(3)直線PM與抛物線可能存在的交點個數為1個或2個，當PM∥x軸時，隻有一個交點即M點，當PM與x軸不平行時，才有可能存在另一個交點，不妨标記為N點，可能有如下情形：

由上面四圖可知，隻有當點P位于點M上方時，交點N在線段PM上，這是直觀結論；

然而學生解題時可沒有幾何畫闆，作精确的圖象又太耗費時間，所以最佳作圖場所是腦海中。

當PM∥x軸時，直線PM與抛物線有唯一公共點，以此為分界線，若點P在M左側，為保證交點N在線段PM上，則點P必須在點M上方，同理，若點P在M右側，也必須在上方，交點N才在線段PM上；

由前面推導可得不等式m-3>-m²-2m 1，整理得m² 3m-4>0，視作二次函數，利用圖象性質求解，m<-4或m>1；

解題反思：

在解題過程中多次出現一元二次不等式，從命題角度，個人認為考慮欠妥，雖然可以利用二次函數圖象性質或分解因式來求解，但在新舊課标中，并未出現二次不等式的任何要求，因此，一元二次不等式解出它的解集，應判定為超綱。

那為何2021年廣東省中考壓軸題，出現的那個含參二次不等式不算超綱呢？因為它并未要求解出解集，隻是形式上像一元二次不等式，和這道題的一元二次不等式有本質區别，事實上學生也無法用上述方法去解，得到含參解集，廣東省壓軸題，的的确确是在考察函數圖象的概念，這一點不可混淆。

這道題在第三問中，出現了較難理解的描述，這需要學生發揮想像力，要求較高，若平時的函數學習中忽略了圖象的生成，那麼學生大概率卡在此處。

在講完這道題之後，建議用幾何畫闆将抛物線頂點的軌迹演示給學生看，加深第二問中，随着m的增大，兩個動點P和M的運動過程理解，點P一直向上運動，而點M的運動軌迹是一條抛物線，所以存在最高點N；

而在第三問中，直線PM與抛物線的交點位置，也是随m的增大，逐漸變化。

學生在面對難題的時候，有一種選擇是利用搜題軟件找答案，很可惜，這道題搜出來的答案是錯誤的，不全面，存在多解和漏解的情形。即便如此，學生依然照抄不誤，可見并未真正理解，這也是為什麼在講完之後，需要演示，幫助那些想像力不足的學生，在腦海中讓圖動起來。

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