在混合運算中,關于運算次序有兩個基本法則:有括号,先計算括号中的算式;沒有括号,先乘除後加減。

比如,可以用下面的兩個例子來表示:(3 2)x4=5x4=20;3 2x4=3 8=11.顯然,這兩個基本法則是一種規定。可是,為什麼要有這樣的規定呢?這樣的規定合理吧,如果這樣的規定是合理的,那麼合理性表現在哪裡呢?為了說明它的合理性,就必須回到現世界,我們已經反複說過,小學階段數學的一切概念和法則都是從現實世界中抽象出來的。

第一個算式是什麼意思呢?思考下面的具有實際背景的問題:操場上有4排同學,每排有3名女同學2名男同學,問操場上有多少名同學?對于這個問題,如果分步計算,顯然應當先計算每排有多少同學,然後再計算4排一共有多少同學。

因此,計算的道理是:同學總數=每排同學數x排數=(3 2)x4可以看到,上面括号中表達的是一個故事:每排的同學數。 這個故事是整體算式中的一個獨立部分,因此,先算括号中的算式是有道理的。

可是,這個例子是具體的,因而是特殊的,這個特例所蘊含的運算次序的一般道理是什麼呢?

我們接下來分析第二個算式,然後歸納出一般道理。如果把乘法理解為加法的簡便運算,第二個算式可以表示為3 2x4=3 4 4=3 8=11。用這樣的方法來解釋先乘除後加減是可以的,但是,這樣的解釋僅僅關注了計算方法,因此,這樣的解釋與上面的例子就沒有共同點,就無法抽象出共性。

為了把問題分析清楚,我們還是思考一個具有實際背景的問題:操場上原來有3名同學,又來了一些同學,這些同學每排有2名同學,共有4排,問現在操場上有多少名同學?

顯然,這個問題中包含了兩個故事:一是原來的同學數;二是後來的同學數。類似第一個算式,可以寫出計算這個問題的道理:同學總數=原來的同學數 後來的同學數=3 2x4因此,先計算乘法是為了完成一個故事:後來的同學數。現在問題已經很清楚了:所有的混合運算都是在講述兩個或兩個以上的故事。

在混合運算中,可能是大故事包含小故事,也可能是幾個故事并列。在原本的意義上,這些故事應當分别計算,即先計算每一個具體的故事,然後再計算整體的故事,統觀數學史,早期的數學都是這樣計算的。

如果希望用一個式子表達這樣的計算,就形成了混合運算:用括号表示大故事所包含的小故事,用加号表示并列的故事。

這樣,為了保證混合運算的計算結果與分别計算的結果保持一緻,就必須建立起前面提到的那兩個基本法則。

(選自史甯中主編《基本概念與運算法則一小學數學教學中的核心問題》,北京:高等教育出版社,2013。)

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