數學發展到今天，已經到了一個很高的程度，尤其當今高精尖技術基本都依托于數學的發展。

華為總裁任正非曾說：這30年來，華為真正的突破是數學，手機系統設備是以數學為中心的。

正所謂茅台的萬億市值不是一天産生的，數學也是伴随着人類的曆史長河由小到大、由弱到強，在曲折中發展壯大的，尤其是數學史上的三大危機更是讓數學破繭重生，煥發新的生機。

下面就讓我們看看這三大危機是如何影響數學發展的。

公元前五世紀，古希臘著名數學家、哲學家畢達哥拉斯創立了一個神秘學派——畢達哥拉斯學派。

“萬物皆數”是該學派的哲學基石，這裡的數僅指整數。

“一切數皆可表示為整數或整數之比”是這一學派的數學信仰，在現在看來，整數之比其實就是分數，這句話相當于把有理數給定義了，整數和分數統稱為有理數。

在當時畢達哥拉斯和他的追随者們對此都堅信不已。

一天，他的一個學生在研究正方形時發現，邊長為1的正方形，它的對角線無論如何都沒法表示成為一個整數或者整數之比，隻能用一個新數來表示。

這一發現不但動搖了畢達哥拉斯學派的根基，甚至對當時整個數學體系造成了打擊。

任何量在任何精度範圍内都可以表示成為有理數，這在當時是人們普遍認可的，是人們普遍接受的信仰，但是這個完全符合常識的論斷竟然被一個小小的根号2給推翻了，這是多麼荒謬的事情，但是雖然看似荒謬，但事實就是事實，人們毫無辦法。直接導緻了人們認知上的危機，史稱“第一次數學危機”。

第一次數學危機一直持續到19世紀下半葉，在此期間人們一直認為這個新數是不可理喻的數，或者不可名狀的數，最後定名為無理數，這就是無理數的由來。

無理數的誕生極大地擴充了數系的範圍，人們對數的認識也從有理數擴充到實數。

第二次數學危機爆發于微積分發展初期關于無窮小量的讨論，無窮小量到底有多小，是不是零？這種疑問最早萌芽于公元5世紀的芝諾提出的幾個悖論：

• 阿基裡斯追烏龜悖論 阿基裡斯和烏龜賽跑，假設阿基裡斯速度是烏龜的10倍，烏龜在他前面1000米處，開始比賽之後，若阿基裡斯跑了1000米，那麼烏龜在同樣的時間裡跑了 100米；接着阿基裡斯又跑了100米，那麼烏龜在他前面10米處；阿基裡斯又跑了10米，烏龜還在他前面1米......那麼按照這個規律，阿基裡斯可以無限逼近烏龜，但是永遠不可能超過烏龜。

• 飛矢不動悖論 一支射出去的箭，在每一個瞬間它都是靜止不動的，而射出去的箭是由無數個瞬間組成的，因此有理由認為射出去的箭在空中是靜止不動的。

很顯然，按照我們的常識，阿基裡斯一定能超過烏龜，飛箭在空中不可能禁止不動。芝諾悖論在數學界掀起了軒然大波，人們已經看到了“無窮小”和“很小很小”之間的矛盾，但當時人們無法解決這種矛盾，于是在幾何證明中排除了無窮小。

直到17世紀，微積分誕生了，數學迎來了一次空前繁榮的時期，微積分解決了很多實際的問題，譬如不規則圖形求積問題、求極限等問題。但是牛頓和萊布尼茲作為微積分的奠基人，在微積分創立之初缺乏清晰、嚴謹的邏輯基礎，導緻微積分出現了越來越多的悖論和謬誤。

當時最關鍵的問題就是無窮小量到底是不是零？無窮小量的分析是否合理？由此引發數學界與哲學界長達一個半世紀的争論，史稱“第二次數學危機”。

最終柯西抓住極限的概念，指出無窮大量和無窮小量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量，并且重新定義了導數和積分，之後經過多位數學家的努力，使數學分析建立在嚴格的實數理論基礎之上。

第二次數學危機不僅沒有阻礙微積分的發展，反而讓微積分馳騁于各個科技領域，解決了大量物理、天文、數學問題，大大推進了工業革命的進程。今天的大學課程，無論經管類還是理工類學生，隻要學數學，微積分都是必修課，尤其是在當今高精尖技術方面，微積分是必備工具。經過本次洗禮，微積分更加系統化、完整化，成為18世紀數學世界的“霸主”。

第三次數學危機起源于19世紀末，當時集合論已經滲透到數學的各個分支，已經成為了數學的基礎，但是這時有些數學家發現了其中的悖論，其中最經典的是羅素提出的理發師悖論。

• 理發師悖論 村子裡的理發師遇到一個難題，他給自己定了個規矩：他給所有不給自己刮臉的人刮臉。這時有人就提出了疑問：那麼理發師應不應該給自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，按照他的規矩，他就應該給自己刮臉；如果他給自己刮臉，那麼他就破壞了他的規矩。

羅素悖論讓整個數學大廈都動搖了，其實很好理解，蓋樓房的地基出現了問題，上面的樓房能結實嗎？人們不禁對數學的整個基本結構的有效性産生了懷疑。

可能有人覺得這個隻是集合中的一個悖論，和數學其他内容關聯不大，我們隻要規避這個悖論就行。但是極限理論是以實數理論為基礎的，而實數理論是以集合論為基礎的，對于嚴謹的數學家來說，這是難以接受的。

就好像蓋了一棟大樓，都蓋到幾十層了，突然發現地基上有個洞，雖然洞很好解決，堵上不就行了，但是千裡之堤潰于蟻穴，數學的大廈還要繼續往高裡建設，保不準哪天這個洞就是大廈傾塌的那個緻命缺陷。但是反過來直接把這幾十層的大樓推倒重建，這誰敢保證以後不出漏洞， 誰又能擔得起推導重建的責任，畢竟數學發展到今天，經過無數數學家的努力已經高度發展，不是想建就能建的。

最終數學家們還是決定通過建立公理化體系來将集合的悖論排除在外，其中德國一位數學家提出了七條公理，建立了一個不會産生悖論的集合體系，後來德國的另一位數學家進行了改進，建立了無矛盾的集合論公理體系。這次危機使集合論得到快速的發展，數學基礎進步更快，數理邏輯也更加成熟，第三次數學危機基本緩和下來，但并沒有被消除。

以上就是數學史上的三次危機，可以看出數學的發展壯大并非一帆風順，而是在發展的過程中貫穿着提出矛盾與解決矛盾。從哲學的角度來說，矛盾貫穿于一切事物當中，無處不在不可避免。我們要敢于承認矛盾，通過解決矛盾來促進發展。

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