對待三角問題，常規思路是運用三角知識及公式解析。但也有其他解題方法。

一. 平幾法

發揮平面圖形的功能，以平面圖形為載體，挖掘三角背景下的問題實質，使三角問題在平面圖形的直觀導引下得到解決。

例1. 已知△ABC的三個内角适合sin²A=sinB(sinB sinC)，求證：∠A=2∠B。

證明：如圖1，聯想平幾知識中的切割線定理求解。延長CA到D，使AD=AB=c，

則CD=b c。

由于sin²A=sinB(sinB sinC)，

所以a²=b(b c)，

即BC²=AC·CD，

所以BC切過A、B、D的圓于點B，

所以∠ABC=∠ADB。

因為AB=AD，

所以∠ABD=∠ADB，

所以∠CAB=∠ABD ∠ADB=2∠ABC，得證。

二. 對稱法

利用互餘三角函數間的特殊關系，以問題結構特征為出發點，通過構造“相似”結構式子，建立對稱關系，開避解題坦途。

例2. 求cos²10° cos²50°-sin40°sin80°的值。

解：設x=cos²10° cos²50°-sin40°sin80°，

y=sin²10° sin²50°-cos40°cos80°，

則x y=2-cos40°；

。

聯立解得

，即為所求結果。

三. 線圓法

直線與圓是數學中的平常而重要的幾何圖形。從抽象的數學式子裡提煉出線圓關系，使問題及字母讨論在直觀的幾何顯示下不解自知。

例3. 設方程sin2x-sin²x=2cos2x m有實數解，試求m的取值範圍。

解：原方程變形為：

3cos2x-2sin2x 2m 1=0。

觀察知：點（cos2x，sin2x）在直線3x-2y 2m 1=0上，而點又在單位圓x² y²=1上，所以這個點是直線與圓的交點。原方程有實數解，就是直線與圓有交點，所以根據圓心到直線的距離不大于半徑關系得：

。

整理得m² m-3≤0，

解得

。

四. 軌迹法

一圖值千言。依題意構點挖掘點的軌迹，發揮“區域”優勢，使隐藏的“關節”得以顯現，利用解析幾何輔助問題獲解。

例4. 設a、b＞0，且變量θ滿足不等式組

，求sinθ的最大值。

解設x=cosθ，y=sinθ，則不等式組等價于

原不等式呈現出鮮明的幾何意義：動點（x，y）的運動區域是單位圓與二直線所圍成的陰影區域。由此得sinθ的最大值就是陰影區域中的最高點的縱坐标，即（sinθ）_max=y_M=

五. 曲線法

有些三角問題，抓住結構特征，依托曲線方程，巧妙地建構圓錐曲線模型，使問題在曲線性質的幫助下簡捷求解。

例5. 若α、β為銳角，且

，求證α β=

。

解：構造A（cos²α，sin²α），B（sin²β，cos²β）兩點，則A、B兩點均在橢圓

上。根據圓錐曲線的切線知識知，經過點B的切線方程為x y=1。顯然點A的坐标适合切線方程，所以點A也是切點，從而知A、B兩點為同一點。

即：cos²α=sin²β，sin²α=cos²β，

所以cosα=sinβ=cos(

)。

由題設條件α、β為銳角，不難得α β=。

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