作者 | 劉洋洲

來源 | 轉自知乎專欄《萬物皆數也》，“數學英才”獲授權轉載，在此感謝！

本文嘗試給高中生，尤其是物理競賽生科普一元函數微分學. 微積分本就建立在種種幾何直觀之上，所以快速了解并掌握計算是可能的. 讀者隻需要借助感性與直觀去理解，再結合簡單的計算和證明，體會微積分的奧妙.

• ：實數.

• ：常數.

• ：表示一個微小的增量，也可以理解為差分算符.

• 求導的幾種表達形式：

2階導數：

n階導數：

• 極限的表達形式：, 當時，有. 特别地，當是連續函數時，有 我們接下來讨論的都是連續函數.

• 高階無窮小量：設，則表示滿足如下關系的一類函數

例如，當時，就是的高階無窮小量。

在物理實驗中，我們通過打點計時器，計算極短時間内的平均速度來近似代替某時刻的瞬時速度. 對應的幾何解釋是：求路程曲線在某時刻的速度，恰好是路程曲線在該時刻切線的斜率，而用平均速度近似，則是通過割線去逼近切線的原理。這個極限的過程我們可以表示為：

或者可以簡寫為

例3.1.設路程-時間曲線，我們求該時刻時的速度，帶入如上公式：

<公式左右滑動可見>

初學者暫時不用去糾結——求極限時分母最終等于0怎麼辦？事實上極限并不關心的情況，而是隻考慮的過程中趨于某個常數的現象，牛頓曾用「最終比」去描述概括之. 關于極限的理論嚴格建立在實數公理上，因為文章字數所限制，讀者隻需要感性認識即可. 極限最要的性質，其實是誤差的可控性：雖然極限的過程與最終的極限總有誤差，然而這個誤差是可以控制在任意小的範圍之内. 極限正如真理，雖不能至心向往之！

更一般地，我們不僅考慮某一時刻的速度，還想知道各個時刻的速度，也就是速度函數. 我們用表示的速度-時間函數，脫離物理背景，我們一般在數學中稱之為「導函數」，簡稱「導數」. 關于求一個函數的導數有固定的公式列表. 導數的推導方法與上例同理.

利用求導的性質，可以幫助我們計算更複雜的函數導數：

• 線性：

• 萊布尼茨法則：

• 高階萊布尼茨法則：

• 複合函數求導：

• 反函數求導：

  ，

  其中前兩條性質是本質的。這些公式的證明都可以通過極限的定義進行推 導. 進一步我們可以得到常用函數的求導公式，請讀者自行逐一驗證：

• ，特别地

Part44 導數與泰勒公式

自從中學學習了三角函數、對數函數自然會産生一個想法，這些「黑匣子」函數該如何計算具體的值？畢竟它們不像是多項式函數那麼透明。能否把這些函數都用多項式函數去表示呢？有了泰勒公式這個法寶，計算數學從此開啟了大門.正如我們前文所述，導數是一元函數局部的增長速率. 當函數處處光滑時，我們可以用導數局部地近似代替原來的函數. 将這個想法用公式表達也就是：

我們将取固定點，視為自變量，事實上我們通過一次函數去局部逼近在附近的取值. 而将這個簡單的想法繼續貫徹下去，我們可以用導數的導數去逼近導數本身，于是得到公式：

這是用二次多項式逼近f(x)，那麼三次呢，四次呢⋯⋯？于是得到泰勒公 式：

<公式左右滑動可見>

對于多項式函數而言，這個公式不難驗證：

恰好，

利用歐拉公式可以看出此三者泰勒展開的聯系（這個展開在複數域也成立）. 特别地，我們得到關于的級數，隻需将代入上面的公式.

<公式左右滑動可見>

在物理問題中（比如單擺公式的推導），常常隻需用到一階近似（即等價代換）. 「微元法」的合法性正是由以上公式保證.

例4.1.（洛必達法則型）設函數在處一階導數連續，且于是有：

此式前提是後者極限存在. 另外，洛必達法則同樣适用于型.

如果在處都有泰勒展開，于是洛必達法則顯然成立：

例4.2.在求比值類型的極限時，人們常常會使用等價無窮小量替換的技巧. 然而草率的替換往往容易産生錯誤. 當分子分母都是無窮小量時，分子如果存在泰勒展開，應該展開到第幾階，完全取決于分母是幾階無窮小量. 例如求

就不可以直接用替換，而應該多展開一項，與分母同為3階——

于是正确的結果是：

至于具體原因，我在知乎有過回答，掃描下方二維碼可見.

無窮小量等價替換的解釋

Part55 微分學的簡單應用

例5.1.（尋找極值）滿足條件的自變量為極值點，在這一點的切線水平.

例5.2.（單調性）導函數在某一區間内滿足（或者小于0），則函數增長嚴格單調.

例5.3.（判斷凸性）二階導函數在某一區間内滿足，則函數在該區間凸.

例5.4.（單擺公式）根據牛頓第二定律列出單擺方程，因為當充分接近時，使用等價無窮小，于是方程化簡為這個常微分方程的解為

，

于是得到單擺周期公式：

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