幾何是初中數學中非常重要的内容，尤其是近幾年中考題更注重考察圖形的變換，如平移、旋轉、翻折等，一般會在壓軸題中出現，而掌握常見幾何模型将有助于學生理清思路、節省大量時間。

在平時練習過程中，注意提煉基本圖形，用基本幾何模型解決問題，則能提高學習效率，提升創新創造能力。本文以一道經典幾何壓軸題為背景，聯系常見幾何模型，提供相關解題策略，幫助孩子認識幾何模型的魅力。下面結合例題說明三角形三邊關系的兩個最值模型精彩應用。

問題：在直線l上找一點P，使得的值最大

解析：連接AB，并延長與1交點即為點P.

證明：如圖，根據△ABP

三邊關系，BP-AP< AB，即PB - PA< PB – PA。

例1、如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分别在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A随之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為____________.

解析：如圖，取AB的中點E，連接OD、OE、DE，

∵∠MON=90°，AB=2 ， ∴OE=AE=1/2AB=1，

∵BC=1，四邊形ABCD是矩形，∴ AD=BC=1， ∴DE=√2，

根據三角形的三邊關系，OD<OE DE，

當OD過點E時最大，最大值為√2 1.故答案為：√2 1.

變式1．如圖，∠MON＝90°，邊長為2的等邊三角形ABC的頂點A、B分别在邊OM，ON上當B在邊ON上運動時，A随之在邊OM上運動，等邊三角形的形狀保持不變，運動過程中，點C到點O的最大距離為　______　．

【解析】如圖，取AB的中點D，連接OD、CD，

∵△ABC是等邊三角形，∴CD＝√3/2×2＝√3，

∵∠MON＝90°，∴OD＝1/2AB＝1/2×2＝1，

由圖可知，當點O、C、D三點共線時點C到點O的距離最大，

最大值為√3 1．故答案為：√3 1．

變式2．（2018•洪澤區一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，點A、C分别在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C随之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是　　．

【解答】解：如圖，取CA的中點D，連接OD、BD，

則OD＝CD＝1/2AC＝1/2×4＝2，

由勾股定理得，BD＝2√2，

當O、D、B三點共線時點B到原點的距離最大，

所以，點B到原點的最大距離是2 2√2．

故答案為：2 2√2．

變式3.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，兩頂點A、B分别在x軸和y軸上運動，則頂點D到原點O的距離的最大值和最小值的乘積為　_______ 　．

【解析】根據已知得出D點的兩個特殊位置，進而求出即可．

當O、D、AB中點共線時，OD有最大值和最小值，

如圖，BD＝2√3，BK＝1，

∴由勾股定理得，DK＝√13，OK＝BK＝1，

∴OD的最大值為：1 √13，

同理，把圖象沿AB邊翻折180°得最小值為：1 √13﹣1×2＝√13﹣1，

∴頂點D到原點O的距離的最大值和最小值的乘積為：（√13 1）（√13﹣1）＝12．

故答案為：12．

變式4.如圖，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限．其斜邊兩端點A、B分别落在x軸、y軸上，且AB＝12cm

（1）若OB＝6cm．

①求點C的坐标；

②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；

（2）點C與點O的距離的最大值＝_______　 cm．

【解析】（1）①過點C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：

在Rt△AOB中，AB＝12，OB＝6，則BC＝6，

∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，

又∵∠CBA＝60°，

∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°，

∴BD＝3，CD＝3√3，

所以點C的坐标為（﹣3√3，9）；

②設點A向右滑動的距離為x，根據題意得點B向上滑動的距離也為x，如圖2：

AO＝12×cos∠BAO＝12×cos30°＝6√3．

∴A'O＝6√3﹣x，B'O＝6 x，A'B'＝AB＝12

在△A'O B'中，由勾股定理得，

（6√3﹣x）2 （6 x）2＝122，

解得：x＝6（√3﹣1），

∴滑動的距離為6（√3﹣1）；

（2）設點C的坐标為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分别為E，D，如圖3：

則OE＝﹣x，OD＝y，

∵∠ACE ∠BCE＝90°，∠DCB ∠BCE＝90°，

∴∠ACE＝∠DCB，

又∵∠AEC＝∠BDC＝90°，∴△ACE∽△BCD，

∴CE/CD=AC/BC，即CE/CD=6√3/6=√3，

∴y＝﹣√3x，

OC²＝x² y2＝x² （﹣√3x）²＝4x²，

∴取AB中點D，連接CD，OD，則CD與OD之和大于或等于CO，當且僅當C，D，O三點共線時取等号，此時CO＝CD OD＝6 6＝12，

故答案為：12．

第二問方法二：因角C與角O和為180度，所以角CAO與角CBO和為180度，故A，O，B，C四點共圓，且AB為圓的直徑，故弦CO的最大值為12．

如圖，在⊙O外有一點P，在圓上找一點Q，使得PQ最短

在⊙O上任取一點Q，連接QO和OP，在△OQP中，根據三角形三邊關系，

OQ QP>OP ∵OP=0Q QP，且OQ=0Q , ∴0Q QP>0Q QP , ∴ QP>QP.

所以連接OP，與圓的交點即為所求點Q，此時PQ最短.

【另外三種情況】

點P在圓外，PQ最長 點P在圓内，PQ最長 點P在圓内，PQ最短

【總結】可見，點與圓的最值問題在本質上仍然是利用了三角形三邊關系。

例2．（2019•岐山縣一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB邊的中點，F是線段BC邊上的動點，将△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是_____　．

【解析】如圖所示點B′在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當D、B′、E共線時時，此時B′D的值最小，

根據折疊的性質，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′＝EB，

∵E是AB邊的中點，AB＝4，∴AE＝EB′＝2，

例3、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是_______________.

解：如圖1，取BC的中點E，連接AE，交半圓于P'，在半圓上取一點P，連接AP，EP，

在△AEP中，AP EP＞AE，即：AP'是AP的最小值，

∵AE＝√5，P'E＝1，∴AP'＝√5﹣1；

故答案為：√5﹣1；

變式1.如圖，在平面直角坐标系中，已知點A（1，0），B（1﹣a，0），C（1 a，0）（a＞0），點P在以D（4，4）為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足∠BPC＝90°，則a的最大值是______．

【解析】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1 a，0）（a＞0），

∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a 1﹣1＝a，∴AB＝AC，

∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a，

如圖延長AD交⊙D于P′，此時AP′最大，

∵A（1，0），D（4，4），∴AD＝5，

∴AP′＝5 1＝6，∴a的最大值為6．故答案為6．

變式2.如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以邊AB的中點O為圓心，作半圓與AC相切，點P、Q分别是邊BC和半圓上的動點，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是______．

【解析】如圖，設⊙O與AC相切于點E，連接OE，作OP₁⊥BC垂足為P₁交⊙O于Q₁，

此時垂線段OP₁最短，P₁Q₁最小值為OP₁﹣OQ₁，

∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，

∴AB²＝AC² BC²，∴∠C＝90°，

∵∠OP₁B＝90°，∴OP₁∥AC

∵AO＝OB，∴P1C＝P1B，∴OP₁＝1/2AC＝4，

∴P₁Q₁最小值為OP₁﹣OQ₁＝1，

如圖，當Q₂在AB邊上時，P₂與B重合時，P₂Q₂經過圓心，經過圓心的弦最長，

P₂Q₂最大值＝5 3＝8，∴PQ長的最大值與最小值的和是9．

故答案為：9．

變式3、如圖，邊長為1的正方形ABCD中，以A為圓心，1為半徑作弧BD，将一塊直角三角闆的直角頂點P放置在弧BD（不包括端點B、D）上滑動，一條直角邊通過頂點A，另一條直角邊與邊BC相交于點Q，連接PC，則△CPQ周長的最小值為____________.

解析：△CPQ的周長＝PQ QC CP＝BQ QC CP＝BC PC＝1 PC；

又∵PC≥AC﹣PA＝√2﹣1，

∴△CPQ的周長≥1 √2﹣1＝√2，

即當點P運動至點P0時，△CPQ的周長最小值是√2．

變式4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P是AB邊上的動點（不與點B重合），将△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則B′A長度的最小值是　　．

【解析】：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC＝4，

由軸對稱的性質可知：BC＝CB′＝3，

當A、B′、C三點在一條直線上時，B′A有最小值，

∴B′Amin＝AC﹣B′C＝4﹣3＝1．故答案為：1．

我們如何知道是哪個三角形構建關系呢呢？我們利用三角形三邊關系來解題，但這個構造出來的三角形是有條件的，即"這個三角形有兩條邊為定值，另外一邊為需要我們求的那條邊"。

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