圓中最大的三角形面積怎麼求-tft每日頭條

圓中最大的三角形面積怎麼求

教育更新时间:2025-10-28 04:24:35

一道高中題-求圓内接三角形的最大面積

已知一個圓的半徑為1，求這個圓的最大内接三角形的面積，并證明你的結論。

解：首先要證明對于同底來說，隻有等腰三角形形才會有面積最大。

如圖所示：等腰的時候有最大的高。

圓中最大的三角形面積怎麼求（一道高中題-求圓内接三角形的最大面積）1

因此内接三角形至少是等腰三角形才有最大面積。

設底邊BC=b, 圓的中心到底邊的距離為X，如圖示意：

圓中最大的三角形面積怎麼求（一道高中題-求圓内接三角形的最大面積）2

根據勾股定理可以求出b用x表達的式子，

圓中最大的三角形面積怎麼求（一道高中題-求圓内接三角形的最大面積）3

從而得出

圓中最大的三角形面積怎麼求（一道高中題-求圓内接三角形的最大面積）4

這樣三角形ABC的面積為

圓中最大的三角形面積怎麼求（一道高中題-求圓内接三角形的最大面積）5

将b帶入，

圓中最大的三角形面積怎麼求（一道高中題-求圓内接三角形的最大面積）6

這相當于求上面函數的最大值，即求下列式子的最大值：

圓中最大的三角形面積怎麼求（一道高中題-求圓内接三角形的最大面積）7

其中0≦x≦1,

若

圓中最大的三角形面積怎麼求（一道高中題-求圓内接三角形的最大面積）8

對其求導：

圓中最大的三角形面積怎麼求（一道高中題-求圓内接三角形的最大面積）9

對于0≦x≦1,

得出x=1/2, 有最大的三角形面積，這是因為在1/2的左側的導數為正，右側為負，所以x=1/2為最大值點。

因此最大值的面積為

圓中最大的三角形面積怎麼求（一道高中題-求圓内接三角形的最大面積）10

由上面的推導可以得出，圓内接等邊三角形的時候有最大的三角形面積。

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