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圓中最大的三角形面積怎麼求

教育 更新时间:2024-11-23 15:09:29

一道高中題-求圓内接三角形的最大面積

已知一個圓的半徑為1, 求這個圓的最大内接三角形的面積,并證明你的結論。

解:首先要證明對于同底來說,隻有等腰三角形形才會有面積最大。

如圖所示:等腰的時候有最大的高。

圓中最大的三角形面積怎麼求(一道高中題-求圓内接三角形的最大面積)1

因此内接三角形至少是等腰三角形才有最大面積。

設底邊BC=b, 圓的中心到底邊的距離為X,如圖示意:

圓中最大的三角形面積怎麼求(一道高中題-求圓内接三角形的最大面積)2

根據勾股定理可以求出b用x表達的式子,

圓中最大的三角形面積怎麼求(一道高中題-求圓内接三角形的最大面積)3

從而得出

圓中最大的三角形面積怎麼求(一道高中題-求圓内接三角形的最大面積)4

這樣三角形ABC的面積為

圓中最大的三角形面積怎麼求(一道高中題-求圓内接三角形的最大面積)5

将b帶入,

圓中最大的三角形面積怎麼求(一道高中題-求圓内接三角形的最大面積)6

這相當于求上面函數的最大值,即求下列式子的最大值:

圓中最大的三角形面積怎麼求(一道高中題-求圓内接三角形的最大面積)7

其中0≦x≦1,

圓中最大的三角形面積怎麼求(一道高中題-求圓内接三角形的最大面積)8

對其求導:

圓中最大的三角形面積怎麼求(一道高中題-求圓内接三角形的最大面積)9

對于0≦x≦1,

得出x=1/2, 有最大的三角形面積,這是因為在1/2的左側的導數為正, 右側為負,所以x=1/2為最大值點。

因此最大值的面積為

圓中最大的三角形面積怎麼求(一道高中題-求圓内接三角形的最大面積)10

由上面的推導可以得出,圓内接等邊三角形的時候有最大的三角形面積。

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