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二項式定理總結

生活更新时间:2025-01-31 05:42:26

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二項式定理最初用于開高次方。

在中國，成書于1世紀的《九章算術》提出了世界上最早的多位正整數開平方、開立方的一般程序。

11世紀中葉，賈憲在其《釋鎖算書》中給出了“開方作法本原圖”（如圖1），滿足了三次以上開方的需要。此圖即為直到六次幂的二項式系數表，但是，賈憲并未給出二項式系數的一般公式，因而未能建立一般正整數次幂的二項式定理。

13世紀，楊輝在其《詳解九章算法》中引用了此圖，并注明了此圖出自賈憲的《釋鎖算書》。賈憲的著作已經失傳，而楊輝的著作流傳至今，所以今稱此圖為“賈憲三角”或“楊輝三角”。

14世紀初，朱世傑在其《四元玉鑒》中複載此圖，并增加了兩層，添上了兩組平行的斜線（如圖2）。

二項式定理總結（二項式定理發展介紹）1

在阿拉伯，10世紀，阿爾 ·卡拉吉已經知道二項式系數表的構造方法：每一列中的任一數等于上一列中同一行的數加上該數上面一數。

11~12世紀奧馬海牙姆将印度人的開平方、開立方運算推廣到任意高次，因而研究了高次二項展開式。

13世紀納綏爾丁在其《算闆與沙盤算法集成》中給出了高次開方的近似公式，并用到了二項式系數表。

15世紀，阿爾 ·卡西在其《算術之鑰》中介紹了任意高次開方法，并給出了直到九次幂的二項式系數表，還給出了二項式系數表的兩術書中給出了一張二項式系數表，其形狀與賈憲三角一樣。

16世紀，許多數學家的書中都載有二項式系數表。1654年，法國的帕斯卡最早建立了一般正整數次幂的二項式定理，因此算術三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年，英國的牛頓将二項式定理推廣到有理指數的情形。

18世紀，瑞士的歐拉和意大利的卡斯蒂隆分别采用待定系數法和“先異後同”的方法證明了實指數情形的二項式定理。

二項式定理總結（二項式定理發展介紹）2

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