1.射影定理

（1）射影定理：

①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。

②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

（2） Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：

①AD2=BD⋅DC；

②AB2=BD⋅BC；AC2=CD⋅BC。

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

反之也成立，若一個三角形某一條邊上的中線等于它的一半，則這個三角形為直角三角形，該邊為斜邊。

2.銳角三角函數的定義

在Rt△ABC中，∠C=90∘：（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sin∠A，

（2）餘弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的餘弦，記作cos∠A，

（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tan∠A,

（4）三角函數：銳角A的正弦、餘弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數。

3.同角三角函數之間的關系：

（1）sin2∠A cos2∠A=1；

（2）tan∠A=sin∠A/cos∠A。

4.特殊角的三角函數值

（1）特指30∘、45∘、60∘角的各種三角函數值。

sin30∘=1/2 cos30∘=√3/2 tan30∘=√3/3

sin45∘=√2/2 cos45∘=√2/2 tan45∘=1

sin60∘=√3/2 cos60∘=1/2 tan60∘=√3

（2）應用中要熟記特殊角的三角函數值，一是按值的變化規律去記，正弦逐漸增大，餘弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規律去記。

（3）特殊角的三角函數值應用廣泛，一是它可以當作數進行運算，二是具有三角函數的特點，在解直角三角形中應用較多。

5.解直角三角形

（1）解直角三角形的定義:

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形。

（2）解直角三角形要用到的關系:

①銳角直角的關系：∠A ∠B=90∘；

②三邊之間的關系：a2 b2=c2；

③邊角之間的關系：

sin∠A=a/c，cos∠A=b/c，tan∠A=a/b（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的對邊）。

6.方向角問題

（1）在辨别方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉相應度數。

（2）在解決有關方向角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行内錯角相等或一個角的餘角等知識轉化為所需要的角。

7.坡度角問題

（1） 坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i=1:m的形式。

（2） 把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關系為：i=h:l=tan α。

（3） 在解決坡度的有關問題中，一般通過作高構成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質也是解直角三角形問題。應用領域：①測量領域；②航空領域； ③航海領域：④工程領域等。

8.仰角俯角問題

（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角。

（2）解決此類問題要了解角之間的關系，找到與已知和未知相關聯的直角三角形，當圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決。

9.銳角三角函數的增減性（了解）

（1）銳角三角函數值都是正值；

（2）當角度在0∘∼90∘間變化時，

①正弦值随着角度的增大（或減小）而增大（或減小）；

②餘弦值随着角度的增大（或減小）而減小（或增大）；

③正切值随着角度的增大（或減小）而增大（或減小）。

（3）當角度在0∘≤∠A≤90∘間變化時，0≤sin∠A≤1，1≥cos∠A≥0　；

當角度在0∘<∠A<90∘間變化時，tan∠A>0。

10.互餘兩角三角函數的關系（了解）

在直角三角形中，∠A ∠B=90∘時，正餘弦之間的關系為：

①一個角的正弦值等于這個角的餘角的餘弦值，即sin∠A=cos∠(90∘−∠A)；

②一個角的餘弦值等于這個角的餘角的正弦值，即cos∠A=sin∠(90∘−∠A)；

也可以理解成若∠A ∠B=90∘，那麼sin∠A=cos∠B或sin∠B=cos∠A。

注：由于電腦上傳問題，所有字母後邊的2代表平方，如a2代表a的平方。#中考數學##解直角三角形##銳角三角函數##九年級數學##華師大版#

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